Et qu'on me dise ce qui est faux si possible.
Voici cet exercice:
Soient les fonctions f(.) et g(.) définie par f(x)=
a)Déterminer leur ensemble de définition.
b)Calculer (g°f)(x) en précisant l'ensemble de définition.
c)Peut-on calculer (f°g)(x) pour tout x appartenant à R?
justifier la réponse .
d)calculer de deux manière (g°f)'(x) en tout point ou g°f est dérivable.
2) Les fonctions arcsin(.) arccos(.) et arctan(.) désignent respectivement les fonctions réciproques des fonctions sin(.),cos(.) ,tan(.) conformément aux définitions du cours.
Montrer les formules suivantes.
Pour tout x appartenant à ]-1,+1[, cos[arcsin(x)]=racine de (1-x²) et sin[arccos(x)]=racine de (1-x²).
b) En appliquant la formule de dérivation d'un fonction réciproque,montrer les formules suivantes:
Pour tout t appartenant à ]-1,+1[ ;(arcsin)'(t)=1/racine de(1-t²),et (arcos)'(t)=-1/racine de(1-t²);
Pour tout t appartenant à R,(arctan)'(t)=1/(1+t²).
Et voici ce que j'ai réussi à faire:
a)f(x)=
Ensuite g(x)=
b)(g°f)(x) = [(racine de x²-1)²-1][(racine de x²-1)²+1]=(x²-2)/x²,l'ensemble de définition c'est R aussi.
c)
Je calculerai f°g pour répondre à cette question.
f°g est donc égal à :
([(x²-1)/(x²+1)]²-1)=;)[(x^4-2x²+1)/(x^4+2x²+1)]-1=;)[-4x²/(x^4+2x²+1)].Mais concernant le numérateur on se rend compte que c'est définie pour des x négatif ou égal à 0.
Et en regardant le dénominateur on se rend compte que ça peut être transformé en une équation du second degré:
x²+2x+1=0 qui admet -1 pour racine.
Donc L'ensemble de définition c'est ]-l'infini,-1[ et ce n'est pas définie pour tout x appartenant à R.
d)(g°f)'(x)= ((x²-2)/x²)'= (u/v)'=2/(x²)²=2/x^4.
2.a) Je peux dire que [arcsin(x)] est la fonction réciproque de sin(x) et arccos la fonction réciproque de cos(x) maiss après je ne sais pas pourquoi cos[arcsin(x)] et sin[arccos(x)]=racine de (1-x²)
b) Là je peux au moins dire que si u=f^-1(x),u'=1/(f'(f^-1(x)),donc (arcsin)'(t)=1/(cos(arcsin(t)) ce qui ne ressemble pas à ce que je dois démontré...
Puis (arccos)'(t)=1/(-sinx(arccos(t)).
