Différentiabilité fonctions composées

[kagoune]

bonjour j'ai du mal à un exercice car j'arrive pas a appliquer les propriétés de fonctions composées

l'exercice est le suivant:
Soient E, F, G trois evn, On considère des applications f: E -> F, g: F -> G que l'on suppose 2 fois différentiables. Si x € E, montrer que:

d²(gof)(x)(h,k)=d²g(f(x))(df(x)h,df(x,k))+dg(f(x))(d²f(x)(h,k))

je sais pas si c'est le bon chemin a prendre mais j'ai essayé de calculer
d(gof)(x)(h,k)

mais je n'y arrive pas... je ne vois pas comment appliquer le cours... merci

[nekros]

Salut

Je pense que c'est la bonne méthode.

Déjà, as-tu trouvé :



Je peux te faire la preuve si tu veux ?

[kagoune]

oui s'il vous plait?

[nekros]

Je t'en prie, tutoie-moi :)

Laisse moi 10 minutes :lol4:

[Joker62]

10 minutes passés.

Suffit d'écrire le développement limité de f
d'écrire celui de gof

Remplacer f(A) par son expression trouvée plus haut
Par linéarité du gradiant, sortir ce que tu peux
Arranger
Et voilà
Faire de l'analyse vectorielle quoi :^)

[nekros]

différentiable en a donc

Or différentiable en donc

Or linéaire donc :



Notons

L'application est linéairement continue comme composée de deux applications linéaires continues.
Pour conclure, il suffit de voir que

On a :

quand

D'autre part,

[Joker62]

C'est joli l'analyse n'empêche

[nekros]

Ouaip :lol4:

[kagoune]

merki! :we: :++: