Fonction f(x,y)

par **Near** » 17 Avr 2009, 14:50

salut :we:
je cherche une piste pour résoudre la question suivante :
La fonction f(x,y) satisfait aux conditions suivantes: f(0,y) = y + 1, f(x+1,0) = f(x,1), f(x+1,y+1) = f(x,f(x+1,y))
pour tout entiers positifs x, y.
Déterminer f(4, 1981).
merci beaucoup

par **Nightmare** » 17 Avr 2009, 15:12

Salut :happy3:

f(4,1981)=f(3,f(4,1980))

f(4,1980)=f(3,f(4,1979))

etc..

donc f(4,1981)=f(3,f(3,f(3,....,f(3,0))....) (je te laisse calculer le nombre d'itération)

Or f(3,0)=f(2,1)=f(1,f(2,0))

f(2,0)=f(1,1)=f(0,f(1,0))=f(1,0)+1=f(0,1)+1=3

finalement f(3,0)=f(1,3)=f(0,f(1,2))=f(1,2)+1 etc... tu as compris le principe !

par **Zweig** » 17 Avr 2009, 15:51

Salut,

On montre par récurrence que

où '2' est répété 1981 fois.

par **Nightmare** » 17 Avr 2009, 15:56

Mieux qu'une récurrence, on pourrait faire un raisonnement par induction en utilisant la définition inductive de la fonction non? :happy3:

par **Nightmare** » 17 Avr 2009, 15:57

Enfin, "mieux" ... "autrement" plutôt !

par **Zweig** » 17 Avr 2009, 16:08

Non, ce que je voulais dire c'est qu'avec de la récurrence on montre ceci (je vais à l'essentiel) :

On observe que

et que

On montre alors par récurrence :

De la même manière,

et

d'où par récurrence,

D'un autre côté,

,

.

Une dernière récurrence fournit enfin

avec 1981 fois '2'.

par **Near** » 17 Avr 2009, 16:44

merci beaucoup pour tous les deux :++:
j'ai des questions :zen:
pour "Nightmare" :we:
comment peut on faire un raisonnement par induction ?
pour "zweig" :we:
j'ai cherché un peu et j'ai trouvé par récurrence :
f(x,y) = 2^[(x-2)(y + 3)] - 3
avec (x-2)(y+3) en puissances successives de 2.est-ce juste ?
merci encore pour vous deux :id: .

par **Doraki** » 17 Avr 2009, 23:15

Near a écrit:j'ai cherché un peu et j'ai trouvé par récurrence :
f(x,y) = 2^[(x-2)(y + 3)] - 3
avec (x-2)(y+3) en puissances successives de 2.est-ce juste ?
merci encore pour vous deux :id: .

T'es en train de dire que 1 = f(0,0) = 2^[-6]-3 = (une tour de puissances avec (-6) 2s) - 3 ?

Sinon, f ne peut pas s'exprimer avec une formule de ce genre.
Et elle grandit plus vite que n'importe quelle formule que tu pourrais inventer.

par **Near** » 18 Avr 2009, 13:05

salut "Doraki" :we:
peux-tu m'aider à extraire une formule à l'aide des données
"Zweig" a donné une réponse par récurrence,mais j'ai pas vraiment saisi.
merci beaucoup.

par **Doraki** » 18 Avr 2009, 16:57

On a pas de formule qui donne f(x,y) en général, mais par contre on peut trouver une formule simple qui donne f(0,y) en fonction de y ; puis une formule qui donne f(1,y) en fonction de y ; etc ... jusqu'à f(4,y) en fonction de y.
A chaque fois, ça se montre par récurrence.

Fonction f(x,y)

fonction f(x,y)

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