Fonction

[chtirico]

bonjour,

on se propose d'etudier l'ensemble E des fonctions f de R dans R telles que
pour x,y de R, f(x+y) < ou = f(x)+f(y) (I1)
pour x,y de R f(xy) > ou = f(x)f(y) (I2)

on ne suppose plus que f est derivable ni que f(0)=0 mais on suppose que f est impaire et non identiquement nulle.
1. Montrer que f(1) = 1.

J'ai trouver un raisonnement mais je ne suis pas sur de moi :
En prenant y=1 dans (I2) on a pour tout x : f(x) >= f(x) f(1) (I3)
Donc pour -x en particulier on a f(-x) >= f(-x) f(1)
La fonction f étant impaire on a - f(x) >= - f(x) f(1)
d'où f(x) <= f(x) f(1) (I4)

Pour que (I3) et (I4) soient vérifiées il faut donc que f(1) = 1.

2. Déterminer les fonctionsf de E, dérivables et telles que f(0) = 0. On pourra comparer [f(x+h)-f(h)]/h et f(h)/h selon le signe de h et faire tendre h vers 0.

Pour la comparaison, je n'ai pas eu de problème. je trouve à la fin de mon raisonnement que f'(x) = f'(0). Je pose k=f'(0).
on a f'(x) = k donc f(x) = kx + c. Or c = 0 car f(0) = 0 donc f(x) = kx.
Cette fonction vérifie toujours (I1).
Pour qu'elle vérifie (I2) il faut que kxy >= k²xy donc (k-k²) xy >= 0.
Et la je suis bloqué ... pourriez vous m'aider . merci

[Doraki]

En prenant y=1 dans (I2) on a pour tout x : f(x) >= f(x) f(1) (I3)
La fonction f étant impaire on a - f(x) >= - f(x) f(1)
d'où f(x) = k²xy donc (k-k²) xy >= 0.
Et la je suis bloqué ... pourriez vous m'aider . merci

pour tout x et y, (k-k²)xy >= 0.
Si tu trouves x et y tels que xy > 0, t'en déduis quoi pour (k-k²) ?

[chtirico]

f(x) est différent de 0 cat f est identiquement non nulle je pense.

oui si xy > 0 alors en en déduis que (k-k²) = 0 dc k = 0 ou 1 mais je ne vois pas pour quelle raison xy serait > 0

[Doraki]

J'ai dit de trouver x et y tels que xy soit >0 . C'est pas super dur, si ?
J'ai pas demandé de prouver que xy était > 0 pour tout x et y ou un truc compliqué du genre.

si je choisis x= 17 et y=333, l'équation dit que (k-k²)*5661 >= 0 et de ça j'en déduis
que k-k² >= 0

Maintenant je choisis x= 42 et y=-57, l'équation me dit que (k-k²)*(-2394) >= 0 et de ça
j'en déduis que k-k² <= 0.

Donc grâce à ces choix merveilleux, j'ai pu conclure que k-k² était nul, en effet.