par emdro » 05 Aoû 2007, 22:43
Bonsoir,
C'est moins simple que prévu, mais je pense que cette solution fonctionne:
Disons que |f"| est majoré par M. D'après les accroissements finis, |f'(b)-f'(a)|Raisonnons par l'absurde en supposant qu'il existe un epsilon strictement positif tel que pour tout réel A, il existe un a supérieur à A tel que |f'(a)|>epsilon.
C'est à dire soit f'(a)>epsilon ou f'(a)<-epsilon.
L'un de ces deux cas au moins se produit une infinité de fois (immédiat par l'absurde). Pour fixer les idées, disons que pour tout réel A, il existe un a supérieur à A tel que f'(a)>epsilon.
Mais lorsque f'(a)>epsilon, alors:
* pour tout h dans ]0; a+epsilon/M[, 0* pour tout h dans ]0; a+epsilon/M[, 0Graphiquement, autour de a, la courbe de f ' est située au-dessus d'un petit triangle de hauteur epsilon et de pentes M à gauche et -M à droite.
En intégrant, on obtient
0< epsilon²/2M0< epsilon²/2M
Soit 0< epsilon²/M
Si je pose p=epsilon²/M, et d=epsilon/M, le fait qu'on puisse trouver un nombre a aussi grand qu'on souhaite tel que f(a+d)-f(a-d)>p entre en contradiction avec le fait que f tende vers une limite finie.
