Fonction

[zork]

bonjour,

soit A={(x,y):x,y dans R, x différent de y} et G la fonction définie sur A par:


1) montrer que G est continue sur A: j'ai réussi
Déterminer la fermeture de A: Je ne vois pas

2) avant on rappelle le TAF
trouver une fonction g:R-->R telle que la fonction H définie par H(x,y)=G(x,y) si x différent de y et H(x,x)=g(x) soit continue sur R²

je pense qu'il faut faire une analyse-synthèse pour trouver g mais comment utiliser le TAF?

merci

[Nightmare]

Salut,

Vois-tu déjà ce qu'est géométriquement l'ensemble A? Si oui, pourrais-tu déterminer intuitivement sa fermeture?

[zork]

j'aurai dis que c'était le plan privé des points x=y

[Nightmare]

Oui, donc le plan privé de la droite d'équation y=x. Quelle peut donc être sa fermeture?

[zork]

j'aurai une question: est ce que A est fermé?

[Nightmare]

D'après toi? Quelle est la limite de la suite de couple (0 , 1/n ) ?

[zork]

le couple (0,1/n) tend vers 0 quand n tend vers +oo

[Nightmare]

Un couple ne peut pas tendre vers un réel!

[zork]

non ce n'est pas un fermé puisque son complémentaire, la droite y=x n'est pas un ouvert

pour la fermeture je propose A mais comment le montrer?

[Nightmare]

Pourquoi la droite d'équation y=x n'est-elle pas un ouvert?

Je ne comprends pas ce que tu entends par "je propose A". C'est A dont on cherche la fermeture. Tu dis donc que c'est A? Donc c'est que A est fermé...

[zork]

y=x n'est pas un ouvert car on ne peut pas trouver de boule incluse dedans

[rifad]

Bonjour,

voila un exercice qui me pose probleme je n'ai pas la methode.

Soit la forme differentielle

w = (1/(x+y)-ln(x+y))dx+1/(x+y)dy

je trouve que la forme n'est pas exacte et on me demande de trouver une fonction phi de x telle que la forme differentielle w1 = phi(x)w


Je trouve phi(x) = 1/(x+y)-ln(x+y) si c'est pas ca je donne ma langue au chat...

[zork]

je pense que la fermeture est AU {y=x}

puisque si on prend une boule dont le centre est sur la droite y=x on peut toujours trouver un epsilon sufffisamment petit tel que B(x,epsilon) inter A soit non vide


pour la question 2) je vois pas

[Nightmare]

Et c'est quel ensemble AU{(x,y) tels que y=x} ?

Pour la question 2), pourrais-tu trouver g(x) de sorte que H soit séparément continue?

[zork]

il s'agit de R²

pour la 2) tu veux que je fasse comme les fonctions à 2 variables.
f(x,y)= qqch si (x,y) différent de (0,0)
0 sinon

[Nightmare]

Oui, la fermeture de A est donc le plan tout entier, autrement dit, A est dense dans R².

Pour la 2), ce qu'il faut en premier lieu, c'est trouver un éventuel candidat. Pour ça, je te propose d'utiliser une propriété bien connue qui est qu'une fonction continue sur R² est séparément continue. Autrement dit, f(x,y) continue => et (attention la réciproque n'est pas vraie).

Il s'agit d'utiliser ce résultat pour trouver l'éventuel candidat au prolongement par continuité. Il faut donc réussir à calculer la limite de quand x tend vers y et y tend vers x. Qu'est-ce que ça donne?

[zork]

je n'ai jamais fais des trucs comme ca en cours et en TD (les exos que je post sont ceux du partiel de l'année dernière)

mais si je fais x tend vers y ou l'inverse j'ai une forme indéterminée

[Nightmare]

Te rappelles-tu de la notion de taux d'accroissement?

Plus précisément, lorsque f est une fonction dérivable,

[zork]

je trouve:
lorsque y tend vers x, cos(x)
lorsque x tend vers y, cos(y)

donc la fonction g(x)=cos(x)?

[Nightmare]

Oui effectivement, la candidate serait la fonction cos.

Maintenant, il faut montrer qu'en prenant g(x)=cos(x), la fonction est bien continue. Pour ça, il faut revenir à la définition de la continuité, et c'est là que le TAF va nous être utile.