Fonction

[jiyunit]

Bonjour, j'ai un souci avec un exo si quelqu'un aura gentillesse de m'aider
merci beaucoup

énoncé :
soit deta supérieur à 0. on pose f:x tend vers exp(x*deta) et on considère l'équation (E) suivante: exp(deta*exp(deta*x))=x
1) étuider les variations de la fonction f.
2) soit x appartient à R tel que f(x)=x. montrer que x est solution de (E).
3) réciproquement, montrer que si x est solution de (E) alors f(x)=x. (on pourra considérer f °f)
4) soit la fonction g:x tend vers f(x)-x. quel est le lien entre les solutions de (E) et g?
5) étudier les variations de la fonction g.
6) en déduire, selon les valeurs de deta ,le nombre de solutions de l'équation (E)


1) f(x)=exp^(deta x)
f'(x)=deta * exp^(deta x) supérieur à 0
donc f est strictement croissante

2) x=f(x)=exp(deta*x) exp(deta*exp(deta*x))=exp(deta*x)=x d'ou f(x) est solution de (E)

5)g(x)= f(x)-x
g'(x)= deta * exp^(deta x)-1

deta * exp^(deta x)-1=0 quand x=-ln (deta)/deta et deta * exp^(deta x)-1supérieur à 0 quand x est supérieur à -ln (deta)/deta


je ne sais pas si c'est ça qu'on nous demande ...

et puis pour le reste des questions je suis bloquée ...

[arnaud32]

pour le 3 utilise le fait que f est strictement monotone; tu peux raisonner par l'absurde.

pour le 4 tu sais que f(x)=x ssi fof(x)=x
et f(x)=x ssi g(x) =?

pour le 6 tu regroupes 4 et 5

[jiyunit]

pour le 3 utilise le fait que f est strictement monotone; tu peux raisonner par l'absurde.

pour le 4 tu sais que f(x)=x ssi fof(x)=x
et f(x)=x ssi g(x) =?

pour le 6 tu regroupes 4 et 5

merci pour tes indices mais c'est quoi le raisonnement par l'absurde ?... et j'ai pas très bien compris de ce que tu m'a di pour le 4) ...
merci

[arnaud32]

tu supposes que x est solution de E et que ie xf(x)
et tu vas trouver une contradiction


pour le 4 f(x)=x ssi g(x)=0

[jiyunit]

tu supposes que x est solution de E et que ie xf(x)
et tu vas trouver une contradiction


pour le 4 f(x)=x ssi g(x)=0

ie xf(x) ?... tu veux dire si xf(x) non ?...
et je suis un peu confus pour le 4 f(x)=x ssi fof(x)=x
et f(x)=x ssi g(x) =0 mais c'est quoi le rapport avec le lien entre les solutions de (E) et g ?...

merci

[arnaud32]

tu sais que x solution de E veut dire x=fof(x)

equivaut a x<f(x) ou f(x)<x
mais f est strictement croisante donc si x<f(x) alors f(x)<fof(x)=x ce qui est absurde.
tu as la meme chose dans l'autre sens donc forcement x=f(x)

dans le 2) tu as montre que si x=f(x) alors x=fof(x) et dans le 3) la reciproque
donc x=f(x) si et seulemnt si x=fof(x)
or f(x)=x ssi f(x)-x=0 ssi g(x)=0
les olution de ton equation sont donc les solutions de g(x)=0

[jiyunit]

tu sais que x solution de E veut dire x=fof(x)

equivaut a x<f(x) ou f(x)<x
mais f est strictement croisante donc si x<f(x) alors f(x)<fof(x)=x ce qui est absurde.
tu as la meme chose dans l'autre sens donc forcement x=f(x)

dans le 2) tu as montre que si x=f(x) alors x=fof(x) et dans le 3) la reciproque
donc x=f(x) si et seulemnt si x=fof(x)
or f(x)=x ssi f(x)-x=0 ssi g(x)=0
les olution de ton equation sont donc les solutions de g(x)=0

ok d'accord j'ai compris
merci
eh pour 6) comme g et f ont la meme solution le nombre de solutions de (E) pareil que g donc une solution deta= ln(x)/x non ?...

[jiyunit]

tu sais que x solution de E veut dire x=fof(x)

equivaut a x<f(x) ou f(x)<x
mais f est strictement croisante donc si x<f(x) alors f(x)<fof(x)=x ce qui est absurde.
tu as la meme chose dans l'autre sens donc forcement x=f(x)

dans le 2) tu as montre que si x=f(x) alors x=fof(x) et dans le 3) la reciproque
donc x=f(x) si et seulemnt si x=fof(x)
or f(x)=x ssi f(x)-x=0 ssi g(x)=0
les olution de ton equation sont donc les solutions de g(x)=0

???............
merci