Fonction de répartition sinus

[pluie2]

Bonjour à tous, je suis bloquée pour cette question merci de m'y aider :

On considère une variable aléatoire A suivant une loi uniforme sur [0, pi/2] et on s'intéresse à la variable aléatoire X=sin(A).

Déterminer la fonction de répartition de F_X de X.

J'ai fait :

Pour tout réel x, on a F_X(x)=P(X<=x)=P(sinA<=x)=P(A<=arcsin(x)) avec F_A(x)=0 si x<0, 2x/pi si x appartient à [0,pi/2] et 1 si x>pi/2. (car A suit la loi uniforme).

et c'est là que je bloque, j'ai fait :

On a P(A<=arcsin(x))= Intégrale de 0 à 1 de 1.arsin(x)dx. Après intégration par partie, je trouve que cette intégrale vaut pi/2-1.

et c'est là que ça me parait louche car ma fonction de répartition vaut 0 si x<0, pi/2-1 si x est dans [0,1] et 1 si x>1

merci de me corriger !!

[mrif]

Tu traites la variable A comme tu as défini la variable X, c'est à dire envisager 3 cas. Et attention, on integre entre - l'infini et x (et non pas 1).

[pluie2]

donc une fois que j'ai fait mon intégration entre -oo et x (mais pourquoi pas entre 0 et 1 je ne comprends pas ?), je dis que la valeur trouvée est vrai pour x dans [0,1] et sinon qu'elle vaut 0 ou 1 à l'extérieur de cet intervalle ?

[mrif]

Parce que tu cherches P(A<=x) et non pas P(A<=1)

[pluie2]

ok donc j'obtiens mon intégrale qui vaut :

xarcsinx-racine(1-x²).

ça me semble assez bizarre... du coup :
F_x(x)=0 si x<0
xarcsinx-racine(1-x²) si x dans [0;1]
1 sinon

?

[pluie2]

qu'en pensez vous?

[mrif]

Désolé, je n'avais pas lu attentivement ce que tu as écrit. Je repprends:
Par définition, si f est la densité de A on a : P(A<=arcsin(x))= Intégrale de 0 à arcsin(x) de f(t)dt.
Il suffit de remplacer f(t) par 2/pi et tu obtiendras:
X(x) = 0 si x <= 0 , X(x) = (2arcsin(x))/pi si x est compris entre 0 et 1 et X(x) = 1 si x >=1.

[pluie2]

donc je calcule l'intégrale de -oo à arcsin(x) ? ça me parait bizarre (même si ce que vous dites semble correct^^) d'avoir une borne valant arcsin non ?

[mrif]

Oui, car
où .

[pluie2]

ok merci !

Dans la suite de l'énoncé, on me donne sa densité (à X) qui vaut : f_X(x)=2/(pi(racine(1-x²)) pour x dans ]0,1[ et 0 sinon donc je pense que c'est cohérent avec votre réponse...

[mrif]

la densité de X est la dérivée de sa fonction de répartition c'est à dire . Tu dérives et tu regardes ce que ça donne.

[pluie2]

ok je vais faire ça merci !