Fonction réciproque d'une bijection de classe C1

[Alexray]

Salut à vous,

J'aimerais traiter l'affirmation pour une fonction Φ : ]-1;1[ → ]-1;1[ bijective et de classe C1, on a nécessairement Φ^ de classe C1.

Avec le théorème de la bijection, on peut normalement être sur que si Φ est bijective sur ]-1;1[, elle est un homéomorphisme, donc que Φ^ est continue sur l'ensemble d'arrivée ]-1;1[. À partir de là, sans information, il me semble qu'on ne peut pas affirmer que Φ^ est dérivable ? Pas plus que sa dérivée serait continue.

Quel théorème utiliser ou quelle démonstration permettrait d'avancer dans cette affirmation ?

[Pseuda]

Bonjour,

Il me semble qu'il faudrait plutôt trouver un contre-exemple pour démontrer qu'il y a des fonctions de classe C1 sur un intervalle dont la bijection réciproque ne l'est pas.

Que penses-tu de la fonction définie sur ?

En fait il suffit de prendre une bijection dont la dérivée s'annule sur l'intervalle (car ).

[Alexray]

Merci pour votre réponse,

J'avais effectivement pensé à tester un contre-exemple, mais je n'avais pas eu l'idée de prendre des puissances..

Voici le contre-exemple, je pense que ça fonctionne et que je ne me suis pas trompé :


f est une bijection de I dans I
De plus f'(x) = 3x² est définie et continue car polynome sur I. Donc f est C1(I)

est également strictement monotone et continue sur I.
= qui n'est pas définie en 0 ∈ I, donc n'est pas dérivable sur I donc seulement de classe .

L'affirmation est fausse.

[Doraki]

= qui n'est pas définie en 0 ∈ I, donc n'est pas dérivable sur I

euuuh mieux vaut montrer directement que le taux d'accroissement diverge. C'est pas parceque la dérivée d'une fonction existe et est donnée par une formule quelquepart que l'ensemble de dérivabilité de la fonction est l'ensemble de définition de la formule.

[Alexray]

Eh bien, ici, est-ce que dire que le taux d'accroissement tend vers l'infini avec x qui tend vers 0 est vraiment différent que de dire que la dérivée n'y est pas définie ?

Enfin, si j'ai bien compris, il vaut mieux passer par la limite du TA que de passer par la dérivée supposée valide. Dans quels genres de cas ça devient obligatoire ? Il me semble avoir déjà vu quelques exemples où la limite du taux d'accroissement permettait de converger vers une valeur que la formule de dérivée ne pouvait pas déterminer.

[Doraki]

Si f'(x) tend vers l'infini quand x tend vers a, alors f ne peut pas être dérivable en a (le théorème des accroissements finis devrait fonctionner)

Par contre tu peux avoir des fonctions dérivables en a et où f' oscille ou alors tu peux avoir une expression de f' qui semble ne pas avoir de valeur en a mais que tu peux prolonger par continuité.

En fait le plus simple ici c'est de dire que comme f'(0) = 0, f-1 ne peut pas être dérivable en 0 sinon la règle de la dérivée d'une composée dit que 1 = (f°f-1)'(0) = f'(0) * f-1'(0) = 0 * f-1'(0) = 0.

[Alexray]

Un raisonnement court et efficace, merci beaucoup pour votre aide