Bijection et fonction réciproque

[brebre54]

Bonjours à vous, voici une partie de mon DM de maths, et je bloque sur la dernière question d'un exercice ...

On considère la fonction g de R vers R telle que g(x)=ln(abs((x+1)/(x-1)))

1. déterminer l'ensemble de définition de g

Dg=]-inf;-1[U]-1;1[U]1;+inf[

2. comparer pour x non nul de Dg, g(x), g(-x) et g(1/x)

J'ai trouvé g(-x)=-g(x) (donc g est impaire)
et g(1/x)=g(x)

Je ne sais pas si c'est juste, mais je n'arrive pas a trouver leur utilité dans la suite de l'exercice, pourtant il doit surement y en avoir une =)

3. Etudier les variations de g sur Dg, sans oublier les limites

Je trouve g croissante sur]-1;1[ et décroissante sur le reste, les limites en -1 et 1 sont respectivement -inf et +inf, et les limites en -inf et +inf sont 0.

4. Démontrer que la restriction h de g à ]-1;1[ est une bijection de ]-1;1[ vers un intervalle à déterminer. faire un tableau de variations de h-1(la réciproque, je ne sais pas comment mettre "à la puissance" les caractères).

g est une bijection de ]-1;1[ vers ]-inf;+inf[=R et h-1 prend ces valeurs dans ]-1;1[ et est strictement croissante.

5 Expliciter les fonction h-1 et (h-1)og

Alors la, je bloque, je pense qu'il faut composer, mais je m'embrouille dans les ensembles de définition etc ...

Pour la deuxième, sur ]-1;1[ c'est facile, mais sur le reste ...

Si vous pouviez me donner une petite indication pour le sens de la marche, que je puisse me lancer sereinement dans la fin de cet exercice ^^

Merci beaucoup, et bon week-end !

[Ben314]

Salut,
Tout ce que tu as fait me parrait parfaitement correct.

Dans la 5) pour déterminer la bijection réciproque de h, dans ce type d'exo, on utilise (bètement) la définition de cette dernière :
On considère un élément fixé (i.e. on fait comme si on connaissait sa valeur) y de l'ensemble d'arrivé de h, c'est à dire un y de R et on cherche le(s) éventuel(s) élément x de l'ensemble de départ de h, c'est à dire le(s) x de ]-1,1[ tels que h(x)=y. [bon, en fait tout les s entre parenthése et le mot "éventuel" sont inutile ici, vu que tu sait déjà que c'est une bijection].
Coté "pratique", cela signifie que tu écrit que y=ln(abs((x+1)/(x-1))) et tu cherche à résoudre cette équation, c'est à dire à trouver x (en fonction de y).
Attention simplement à ne pas "oublier" les ensembles de départ et d'arrivée : pour le y, il n'y a rien à dire, c'est un réel quelconque, mais attention, le x que l'on cherche doit être dans l'intervalle ]-1,1[.

Ensuite, pour h^(-1)og, effectivement, si x est dans ]-1,1[, il est clair que l'on a h^(-1)og(x)=x.
Si x n'est pas dans ]-1,1[, et bien c'est là qu'il peut être utile de se rappeler que g(x)=g(1/x) donc h^(-1)og(x)=h^(-1)og(1/x) et, comme x n'est pas dans ]-1,1[, cela implique que 1/x est dans...

[brebre54]

Ok merci pour l'indic' ^^

On a donc sur ]-1;1[ (h-1)(x)og(x)=x et sur le reste (h-1)(x)og(x)=1/x c'est bien ça ?

Par contre, j'arrive pas à résoudre h(x) = y ...

ma démarche ...

comme x est dans ]-1;1[, abs ((x+1)/(x-1)) = (x+1)/(-x+1) on est d'accord ?

je retrouve avec y=ln((x+1)/(-x+1)) <=> exp(y)=(x+1)/(-x+1) et puis la, j'ai beau tripoter les chiffres dans tous les sens, j'arrive pas à m'en sortir ...

[Ben314]

On a donc sur ]-1;1[ (h-1)(x)og(x)=x et sur le reste (h-1)(x)og(x)=1/x c'est bien ça ?

OUI.

exp(y)=(x+1)/(-x+1)

ben là, c'est quasi nivea "collége" : tu multiplie par -x+1 des deux cotés, tu isole les x d'un coté et le reste de l'autre puis tu divise par le coeff qu'il y a devans le x pour trouver x=??? (attention à vérifier que l'on ne divise pas par 0).

La seule petite dificulté n'est pas calculatoire, mais "conceptuelle" : il ne faut pas oublier que y est connu : on cherche à écrire x=... en fonction de y donc dans toute la résolution, on considère le y comme un "paramètre".

[brebre54]

effectivement, c'est un problème conceptuel xD

je me retrouve avec x= (exp(y)-1)/(exp(y)+1) ce qui veut dire que pour tout y de R, h-1(y)=(exp(y)-1)/(exp(y)+1)

voila donc mon expression, et pour l'autre je fais en deux parties (comme dans mon message précédent)


Merci bien ^^ je vais pouvoir, confiant, retourner à mon récopiage xD


Bonne fin de Week-end :zen: