Fonction réciproque et existence

[musmus]

salut tout le monde!!
je rentre en prépa BCPST l'année prochaine et ma prof de math nous a déjà donné un dm!! Le problème, c'est qu'il y a pas mal de question concernant le programme de prépa comme les développements limités...
enfin bref je dois prouver l'existence de la fonction réciproque de f(x)=ln(1-x) mais je ne sais pas comment faire!! en plus il faut ensuite que je calcule sa dérivée pour enfin en déduire son expression... alors je galère...
j'éspère que quelqu'un pourra m'aider!!
merci d'avance!

[emdro]

Bonsoir, et bienvenu sur le forum.

Tu auras une fonction réciproque si "tu peux revenir en arrière". Cela n'est possible que si pour tout y, tu peux trouver un ET UN SEUL x tel que f(x)=y.
A toi de le prouver.

Dans ce cas, si tu notes g la fonction réciproque, alors gof(x)=x et fog(y)=y.
Cela devrait te permettre en dérivant de trouver g'. De là à g, il suffira de trouver la bonne primitive.

En même temps, tu peux trouver directement g à partir de f en cherchant à exprimer x en fonction de y.

[Miya]

En termes de courbe, si tu trace le graphique et qu'ol y a une droite horizontale qui "transperce" la courbe deux fois ou plus, la fonction représentée ne possède pas de fonction réciproque (parceque pour cette image, tu as plusieurs antécédents sur lesquels revenir).
De façon plus mathématique, pour une fonction f de R dans R, il y a existence d'une fonction réciproque ssi
Va€R le cardinal de l'ensemble des solutions de l'équation f(x) = a est inférieur ou égal à 1.
Le plus rigoureux ou applicable reste le travail dans le cas des fonctions réelles : dans le cas d'une fonction réelle continue, réciprocité équivaut à stricte monotonie.

Pour trouver la fonction réciproque, tu peux éliminer bout à bout la fonction de base, comme tu fais dans une équation. par exemple, avec f(x) = racine(1/(x²+1)), g la fonction inverse, tu as
gof(x) = x
go(1/(x²+1)) = x²
go(x²+1) = 1/x²
g(x) = racine(1/x² - 1)
(ce n'est pas très bien écrit et je vais m'attirer les foudres des gens plus rigoureux, mais c'est une idée efficace ^_^)

[emdro]

Tu as aussi la possibilité de décomposer ta fonction f en fonctions simples:
x --> -x --> 1-x --> ln(1-x).
La première étant la multiplication par -1, dont la réciproque est...
La deuxième consiste à ajouter 1. Sa réciproque est ...
La troisième est le ln, dont la réciproque est ...

Tu peux maintenant compléter le schéma:
? <-- ? <-- ? <-- y

[musmus]

merci beaucoup pour toutes vos réponses!!!