Existence d'une fonction

[totalmartin]

Bonjour à tous,

je voudrais savoir s'il existe une application f :

(R²)^n -> R^(2n)
(xi,yi) (i dans {1..n}) -> f((xi,yi)) ( (2n)-uplet)

telle que :

f soit injective sauf en cas de symétrie, c'est-à-dire :

si le (2n)-uplet f((xi,yi)) égale le (2n)-uplet f((x'i,y'i)), alors il existe une permutation s dans S({1..n}) telle que :

pour tout i dans {1..n},
xi = x's(i)
yi = y's(i)

J'ai une petite idée d'une telle fonction mais je ne suis pas sûr qu'elle vérifie bien cette propriété.

Pour simplifier on peut remplacer le (2n)-uplet image par un simple réel. Cela marche aussi je crois, car il doit exister une bijection R^(2n) -> R il me semble. Cela revient à donner à tout ensemble de n points du plan une unique valeur réelle.

J'attends vos lumières!

Martin.

PS : Excusez moi d'avance pour l'écriture.

[Doraki]

f soit injective sauf en cas de symétrie, c'est-à-dire :

si le (2n)-uplet f((xi,yi)) égale le (2n)-uplet f((x'i,y'i)), alors il existe une permutation s dans S({1..n}) telle que ...

ben f((x1,y1),...,(xn,yn)) = (x1,y1,...,xn,yn) marche.

Peut-être veux-tu une fonction f telle que il existe une permutation s telle que s(x1...yn) = (x'1...y'n) si et seulement si f((xi,yi)) = f((x'i,y'i)) ?

Une manière de faire est de regarder une famille génératrice du sous-corps de R(X1,Y1...Xn,Yn) constitué par les fonctions invariantes par l'action de Sn où s dans Sn agit sur (X1...Yn) comme tu le décris : s(Xi) = X(s(i)) et s(Yi) = Y(s(i)).

Si tu commences en prenant
X1+X2+...+Xn
X1X2+X1X3+...+X(n-1)Xn
...
X1X2...Xn
Y1+Y2+...+Yn
Y1Y2+Y1Y3+...+Y(n-1)Yn
...
Y1Y2...Yn,
tu obtiens une fonction de l'ensemble des S-orbites de R^2n dans R^2n dont chaque image a un nombre fini d'antécédents.

Pour n=2, il faut par exemple rajouter X1Y1 + X2Y2 pour obtenir une fonction injective de l'ensemble des S-orbites de R^2n dans R^(2n+1).
Pour n plus grand, en général tu risques de devoir rajouter plusieurs polynômes, qui sont compliqués à calculer.

[totalmartin]

ben f((x1,y1),...,(xn,yn)) = (x1,y1,...,xn,yn) marche.

Peut-être veux-tu une fonction f telle que il existe une permutation s telle que s(x1...yn) = (x'1...y'n) si et seulement si f((xi,yi)) = f((x'i,y'i)) ?

Une manière de faire est de regarder une famille génératrice du sous-corps de R(X1,Y1...Xn,Yn) constitué par les fonctions invariantes par l'action de Sn où s dans Sn agit sur (X1...Yn) comme tu le décris : s(Xi) = X(s(i)) et s(Yi) = Y(s(i)).

Si tu commences en prenant
X1+X2+...+Xn
X1X2+X1X3+...+X(n-1)Xn
...
X1X2...Xn
Y1+Y2+...+Yn
Y1Y2+Y1Y3+...+Y(n-1)Yn
...
Y1Y2...Yn,
tu obtiens une fonction de l'ensemble des S-orbites de R^2n dans R^2n dont chaque image a un nombre fini d'antécédents.

Pour n=2, il faut par exemple rajouter X1Y1 + X2Y2 pour obtenir une fonction injective de l'ensemble des S-orbites de R^2n dans R^(2n+1).
Pour n plus grand, en général tu risques de devoir rajouter plusieurs polynômes, qui sont compliqués à calculer.

Ok merci. Effectivement j'ai oublié le "seulement si".

J'ai aussi pensé à cette suite de fonction, mais comme tu le dis, permuter deux "y" laisse inchangé toutes les équations, ce que je ne veux pas. Tu peux me dire quelle est la forme des polynomes à rajouter, qui combinent x et y?

Je me demande si cela ne consiste pas à copier-coller les n premières équations (avec les Xi) mais remplacer les Xi par les XiYi. Cela ferait 3n équations, ce qui est plus embêtant pour mon problème mais reste ok. Qu'en penses-tu?

Merci

[Doraki]

Pour ta proposition de rajouter les polynomes symétriques élémentaires en XiYi, ce n'est pas suffisant,
parceque ça ne différencie pas des trucs du genre ((1,2),(2,3),(3,1)) de ((1,3),(2,1),(3,2)).
Là, {Xi} = {Yi} = {1;2;3} ; {XiYi} = {2;3;6}, mais ça ne détermine pas les (Xi,Yi) modulo l'action de Sn.

Soit A = K[X1,...,Xn,Y1,..,Yn] et L son corps des fractions.
Soit G = Sn * Sn ; il agit sur A et L par (s1,s2)(Xi) = X(s1(i)) et (s1,s2)(Yi) = Y(s2(i)).
Soit ;) la diagonale dans G = {(s,s) pour s dans Sn}

On sait décrire L^G comme un corps de fonctions rationelles à 2n variables, il suffit de prendre les n fonctions symétriques élémentaires en les Xi et en les Yi séparément.
On cherche L^;). ;) est d'indice n! dans G, donc L^;) est une extension de degré n! de L^G.

si on veut rester sur des polynômes, A^;) / A^G est un A^G-module libre de rang n!, donc on en a une base (P1...Pn!), (le degré des polynômes de cette base peut aller jusqu'à n!)
Et donc avec les 2n polynômes élémentaires plus ces n! polynômes, on est sûr de rien rater
(on peut sans doute en prendre un peu moins mais calculer une base de A^;) comme A^G-algèbre doit vite devenir compliqué)

Pour n=2, ;) est distingué dans G, donc l'extension L^;) de L^G est galoisienne,
et en fait en posant P = (X1-Y1)(X2-Y2),
A^;) = A^G[P], et P² est dans A^G.

Et si tu supportes d'avoir un truc qui marche presque partout, L^;) = K(X1+X2 ; X1X2 ; Y1+Y2 ; P), puisque Y1Y2 = ((Y1+Y2)² - P²/(X1-X2)²)/4.
Donc ces 4 fonctions font l'affaire sauf lorsque P=0 et X1=X2, auquel cas tu ne peux pas récupérer Y1Y2, et tu as une infinité de quadruplets envoyés sur le même truc.

Pour n=3, il faut rajouter au moins 3 polynômes (1 de degré 2 et 2 de degré 3),
tout de suite ça devient plus compliqué de savoir si L^;) est isomorphe à un corps de fonctions à 2n variables. J'ai pas trop regardé.

[totalmartin]

Pour ta proposition de rajouter les polynomes symétriques élémentaires en XiYi, ce n'est pas suffisant,
parceque ça ne différencie pas des trucs du genre ((1,2),(2,3),(3,1)) de ((1,3),(2,1),(3,2)).
Là, {Xi} = {Yi} = {1;2;3} ; {XiYi} = {2;3;6}, mais ça ne détermine pas les (Xi,Yi) modulo l'action de Sn.

Soit A = K[X1,...,Xn,Y1,..,Yn] et L son corps des fractions.
Soit G = Sn * Sn ; il agit sur A et L par (s1,s2)(Xi) = X(s1(i)) et (s1,s2)(Yi) = Y(s2(i)).
Soit la diagonale dans G = {(s,s) pour s dans Sn}

On sait décrire L^G comme un corps de fonctions rationelles à 2n variables, il suffit de prendre les n fonctions symétriques élémentaires en les Xi et en les Yi séparément.
On cherche L^;). est d'indice n! dans G, donc L^;) est une extension de degré n! de L^G.

si on veut rester sur des polynômes, A^;) / A^G est un A^G-module libre de rang n!, donc on en a une base (P1...Pn!), (le degré des polynômes de cette base peut aller jusqu'à n!)
Et donc avec les 2n polynômes élémentaires plus ces n! polynômes, on est sûr de rien rater
(on peut sans doute en prendre un peu moins mais calculer une base de A^;) comme A^G-algèbre doit vite devenir compliqué)

Pour n=2, est distingué dans G, donc l'extension L^;) de L^G est galoisienne,
et en fait en posant P = (X1-Y1)(X2-Y2),
A^;) = A^G[P], et P² est dans A^G.

Et si tu supportes d'avoir un truc qui marche presque partout, L^;) = K(X1+X2 ; X1X2 ; Y1+Y2 ; P), puisque Y1Y2 = ((Y1+Y2)² - P²/(X1-X2)²)/4.
Donc ces 4 fonctions font l'affaire sauf lorsque P=0 et X1=X2, auquel cas tu ne peux pas récupérer Y1Y2, et tu as une infinité de quadruplets envoyés sur le même truc.

Pour n=3, il faut rajouter au moins 3 polynômes (1 de degré 2 et 2 de degré 3),
tout de suite ça devient plus compliqué de savoir si L^;) est isomorphe à un corps de fonctions à 2n variables. J'ai pas trop regardé.

Merci Doraki pour ton message. Je n'ai pas tout compris, mais je fais de mon mieux .

On peut "re-scaler" à loisir les X et les Y (en appliquant une application f, injective) de telle sorte que les applications (Xi,Yi) -> Xi*Yi (ou plus précisément Xi* f(Yi), ou Yi* f(Xi)) soient injectives. Est-ce que cela permettrait de contourner ton contre-exemple?

Merci encore!

A+

[Doraki]

Merci Doraki pour ton message. Je n'ai pas tout compris, mais je fais de mon mieux .

On peut "re-scaler" à loisir les X et les Y (en appliquant une application f, injective) de telle sorte que les applications (Xi,Yi) -> Xi*Yi (ou plus précisément Xi* f(Yi), ou Yi* f(Xi)) soient injectives. Est-ce que cela permettrait de contourner ton contre-exemple?

Merci encore!

A+

En restant avec des polynômes, c'est exponentiellement difficile de résoudre ton problème quand n est grand si tu veux être sûr de ne jamais rien rater.
Par contre tu peux toujours prendre n fonctions qui marchent presque tout le temps (en vertu du théorème de l'élément primitif), où il faut réunir des conditions particulières pour que ça rate (comme ce que j'ai décrit pour le cas n=2)

En utilisant d'autres types de fonctions il faudra que j'y réfléchisse.
Bon évidemment on peut projeter dans R^(n!+2n) avec des polynômes bien choisis, puis composer par une injection de R^(n!+2n) dans R, et pouf magie on a triché mais on a un truc horrible qui marche.
Donc faudrait se restreindre à des fonctions continues.

Enfin bon là j'vais pas avoir bcp de temps avant lundi pour y réfléchir.

[Doraki]

bon en fait pour le cas n=2 et K=R, c'est possible :

prend f(x1,x2,y1,y2) = (x1+x2, y1+y2, (x1-x2)(y1-y2), (x1-x2)²-(y1-y2)²)

on a f-1(a,b,c,d) =
{(a/2 + sqrt((sqrt(d²+4c²)+d)/2)/2, a/2 - sqrt((sqrt(d²+4c²)+d)/2)/2,
b/2 + c/2sqrt((sqrt(d²+4c²)+d)/2), b/2 - c/2sqrt((sqrt(d²+4c²)+d)/2)) ;

(a/2 - sqrt((sqrt(d²+4c²)+d)/2)/2, a/2 + sqrt((sqrt(d²+4c²)+d)/2)/2,
b/2 - c/2sqrt((sqrt(d²+4c²)+d)/2), b/2 + c/2sqrt((sqrt(d²+4c²)+d)/2))} si (c,d) <> (0,0) ;

et {(a/2, a/2, b/2, b/2)} si (c,d) = (0,0).

on obtient (x1-x2)²+(y1-y2)² comme la racine carrée positive d'un truc positif en (a,b,c,d) et non comme polynôme en (a,b,c,d). Si K=C, ce truc ne marche plus.

Pour n suffisemment grand, je pense pas que ce soit possible même pour des fonctions continues quelconques, le genre topologique de R^2n/ ;) risque fort de pas être le même que R^2n

[Doraki]

Finalement pour K=R, ça marche pour tout n :
On note Zk = Xk + i*Yk, qui est donc dans C, on prend E1...En = les n polynômes symétriques élémentaires en les Zk (encore dans C), puis on prend les parties réelles et imaginaires des Ek pour obtenir 2n réels.

f(X1...Xn,Y1...Yn) = f(X'1...X'n,Y'1...Y'n) <=> (E1...En) = (E'1...E'n) <=> (Z1...Zn) est une permutation de (Z'1...Z'n) <=> ((X1,Y1)...(Xn,Yn)) est une permutation de ((X'1,Y'1)...(X'n,Y'n))