Fonction reciproque arctan

[mathos92]

Bonjour,
Je suis bloqué à l'exercice suivant:
On veut résoudre l'équation suivante:
arctan x+arctan x^3=3pi/4 (*)
1. Soit f:R->R définie par f(x)=arctan x+arctan x^3
a. Montrer qu f est dérivable sur R et calculer sa dérivée.
b. Dresser le tableau de variation de f sur R en précisant les limites aux bornes
c. Montrer que l'équation (*) admet une unique solution reelle qu l'on notera a.
d. Montrer qua a>1

Pour montrer que f est dérivable il faut juste calculer sa dérivé ?
Pour la dérivée j'ai trouvé: f(x)'=1/(1+x^2)+3x^2/(1+x^6)
ensuite pour faire le tableau de variation je cherche pour quel x sa dérivée s'annule or je tombe sur une équation que je ne sais pas resoudre: x^6+3x^4+3x^2+1= 0 même en faisant un changement de variable j'ai: X^3+3X^2+3X+1=0
Voila ou j'en suis...
merci d'avance pour votre aide futur :p

[arnaud32]

ca vaut quoi en X=-1?
et sionon( x+1)^3 ca donne quoi en developpant?

[chan79]

une équation que je ne sais pas resoudre: x^6+3x^4+3x^2+1= 0
merci d'avance pour votre aide futur :p

Salut
Cette dérivée ne peut pas s'annuler; regarde les signes et les exposants de x

[maniqk]

Bonjour,

Pour montrer que f est dérivable il faut juste calculer sa dérivé ?

Non... Ca me rappelle un prof qui disait "pour montrer que la fonction est dérivable, vous la dérivez et puisque vous avez réussi, vous concluez qu'elle est dérivable !"
Ca se justifie simplement en disant que x -> arctan(x) est une fonction dérivable, x -> x^3 aussi, donc x -> arctan(x^3) aussi puisque c'est une composition (composée?) de fonctions dérivables etc...
-> Faut vachement de rigueur en prépa, sinon on va te taper sur les doigts !

Le signe de la dérivée est simple à déterminer, comme l'a suggéré chan79.

Pis ça sent le théorème de continuité sur un intervalle la troisième question !

[mathos92]

Ah oui les puissances je ne les avais pas vu.. Merci !
et sinon pour le theoreme de continuité pour la question suivante il faudrait que je dise que les lmites en +oo et -oo etant -pi/2 et pi/2 f(x) passe forcément par 0 de ce fait il existe une unique solution a mais comment faire pour démontrer que a>1?
Merci
PS: je ne suis pas en prépa mais à la fac ;)

[maniqk]

comment faire pour démontrer que a>1

Honnêtement, je sais pas... Je me demande s'il n'y a pas une erreur.
En calculant la valeur de f en 1 on trouve donc si on note g la fonction x->f(x)-3/4, on a g(1) = /4 > 0
Etant donnée que la fonction g est croissante (puisque f l'est), alors pour tout x supérieur à 1, on a g(x) > g(1) > 0 donc j'aboutis ici à une contradiction (avec le théorème de continuité)

Ca serait pas a > -1 ?

[chan79]

f est srictement croissante sur

la limite en est

la limite en est

il existe donc bien un a tel que f(a)=

a égale environ 1.6180339887... (très près du nombre d'or; tu peux démontrer qu'il lui est égal, en fait)

[mathos92]

Mais comment tu sais que a égale 1,61803... ?

f est srictement croissante sur

la limite en est

la limite en est

il existe donc bien un a tel que f(a)=

a égale environ 1.6180339887... (très près du nombre d'or; tu peux démontrer qu'il lui est égal, en fait)

[chan79]

Trace la courbe avec une calculatrice
ou avec un logiciel

[mathos92]

Et sinon il n'y a pas d'autre méthode a part graphique ?

Trace la courbe avec une calculatrice
ou avec un logiciel

[chan79]

Et sinon il n'y a pas d'autre méthode a part graphique ?

s'il s'agit simplement de démontrer que a>1
tu calcules f(1)
tu trouves pi/2 et f est strictement croissante ...

[mathos92]

Ah ouii merci

s'il s'agit simplement de démontrer que a>1
tu calcules f(1)
tu trouves pi/2 et f est strictement croissante ...

[deltab]

Bonsoir.
On aurait pu avoir les deux résultats si on avait considéré la fonction et ont même dérivée, ,