Fonction réciproque Arctan

[Math3matiqu3]

As-salamu 3ala man ittaba3a al-huda, bonjour/ bonsoir à tous !

Il s'agit de mon examen d'Analyse I, une question qui me taraude les méninges >< ..

C'est :

Monter que :

Une indication s'il vous plaît ?

[Ben314]

Salut,
Si tu veut juste une "indic" alors...
La fonction arctan est certes "compliquée" mais sa dérivée est... on ne peut plus simple donc...

[Lostounet]

Salut,

Si tu ne connais pas la dérivée de arctan, tu peux utiliser la relation:
Tan(arctan(x))=x valable pour tout x et dériver les deux membres de cette relation:

Arctan'(x)*tan'(arctan(x))=1

Sachant que la dérivée de tan est 1+tan^2:
Arctan'*(1+tan^2(arctan(x))=1

Ce qui signifie que Arctan'(x)=1/(1+x^2)

[Ben314]

D'un autre coté, si on ne connait rien (à part la définition) concernant la fonction arctan (par exemple si on ne connait même pas sa dérivé), le plus logique, c'est peut-être d'écrire dès le départ que :


P.S. J'avais pas fait gaffe, mais dans le post. de départ, il manque (dramatiquement...) un x dans le terme de gauche de l'inégalité (en rouge ci dessus)

[Pseuda]

As-salamu 3ala man ittaba3a al-huda, bonjour/ bonsoir à tous !

Il s'agit de mon examen d'Analyse I, une question qui me taraude les méninges >< ..

C'est :

Monter que :

Une indication s'il vous plaît ?

Bonjour,

Si on passe à la limite quand x tend vers 0 cette relation, on obtient 1<=0. Il y a effectivement un problème.

[Math3matiqu3]

Je m'excuse , c'était bel et bien

Je sais que (C'est même pour cela que je me suis trompé en haut

Je dois utiliser le théorème des Accroissements finis? (Je voulais une indication mais finalement il m'en faut un petit peu plus )

[Lostounet]

Si tu ne sais pas quoi faire, tu peux toujours poser:
F(x)=arctan(x)-x/(1+x^2)

Et étudier les variations de F en la dérivant (et en montrant qu'elle est toujours positive sur l'intervalle d'étude...).

Des fois comme ici, cela marche très bien. D'autres fois on peut utiliser d'autres arguments pour éviter des calculs laborieux (concavité/convexité...).
Par exemple arctan(x)<= x (sur x>0) peut se montrer avec un argument de concavité, mais poser g(x)=arctan(x)-x marche aussi très facilement bien sûr.

[Pseuda]

Bonsoir,

On peut utiliser la relation : sin y < y < tan y sur ]0, pi/2[ et poser y = Arctan x, x>0.

[Lostounet]

Bonsoir,

On peut utiliser la relation : sin y < y < tan y sur ]0, pi/2[ et poser y = Arctan x, x>0.

Mais pour prouver cette relation... ne faut-il pas déjà faire le même type de travail ? :p en plus de vérifier que la composée est bien définie... et retrouver sin(arctan).

Cela reste ' joli'...!

[Pseuda]

Bonjour Lostounet,

Je croyais que cette relation faisait partie des relations à connaître au programme de la 1ère année du supérieur, et qu'on pouvait la prendre pour acquise.

On la démontre simplement par une considération géométrique sur le cercle trigonométrique, en comparant pour un angle x exprimé en radians et compris entre 0 et pi/2 (c'est-à-dire qui intercepte un arc IM, I étant le point du cercle d'abscisse 1, et M le point du cercle correspondant) :
- son sinus (ordonnée du point M),
- la longueur de l'arc de cercle OM,
- sa tangente (ordonnée du point d'intersection M' de la tangente au cercle au point I, et la demi-droite [OM)). Mais là encore, la démonstration est "visuelle", il y en a sûrement d'autres.

[Ben314]

Il y a des tonnes et des tonnes de façon de procéder : on peut éventuellement "remplacer" les Arctan par des tan si on est pas à l'aise. On peut faire de simples études de fonction (à priori deux pour montrer les deux inégalités) ou bien se ramener à des "formules connues", ou bien... des tas d'autres trucs...

Perso, le premier truc qui me vient à l'esprit, c'est que la dérivée de Arctan est simple et que le lien le plus connu
f <-> f' c'est le T.A.F. donc j'écrirais sans réfléchir que pour un certain et... miracle..., ça donne immédiatement les deux inégalités vu que .

P.S. Et le "" dans le T.A.F. il est "totalement naturel" du fait que, le premier truc à observer en regardant la formule, c'est que les trois termes sont égaux lorsque x=0.

[Math3matiqu3]

Magnifique.. Merci à tous et spécialement à Ben314, ce que vous avez écrit est d'une beauté ardente..