Fonction périodique

[mehdi-128]

Bonsoir,

Je bloque sur le raisonnement suivant. Supposons que la fonction sinus est périodique. Raisonnons par l'absurde et supposons que la fonction sinus admette une période on aurait alors :



Je comprends pas pourquoi partir du fait que la fonction sinus admet une période qu'on obtient une contradiction, on aura montrer que la fonction sinus est 2 Pi périodique. Je vois pas le lien entre les 2.

Aussi je comprends pas d'où sort l'égalité.

Merci d'avance.

[Elias]

Salut,

Supposons que sin soit périodique de période , alors quel que soit x réel, on a :
sin(x+T)=sin(x) (définition de période).

En particulier, en prenant x=T/2, ça donne: sin(-T/2)= sin(-T/2 + T) = sin(T/2).
Or, on a aussi sin(-T/2) = - sin(T/2) (fonction sinus est impaire) d'où :

-sin(T/2) = sin(T/2) et donc sin(T/2)=0.

Mais comme , on a

Or la fonction sinus ne s'annule pas sur d'où la contradiction.

Remarque: on était pas obligé de raisonner par l'absurde


Ensuite tu demandes pourquoi tout ceci démontre que la fonction sinus est periodique de période ?

Ben si on part du fait que pour tout x réel, [qui est plus ou moins direct selon la définition que l'on prend du sinus], la démo qui précède a montré qu'il n'y a pas de période plus petite donc que est la.plus petite des périodes en quelque sorte donc sin est périodique

[mehdi-128]

Ah d'accord merci ! Du coup la plus petit période est bien 2 Pi.