Fonction périodique et intégrale à paramétre

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,


J'essaye de faire un exercice sur les intégrales à paramètre, mais cela fait un bon moment que je bloque.


---

Soit une fonction continue et périodique de R dans R
Soit une fonction continue par morceau de R dans R et intégrable sur R

Je dois déterminer


---

J'ai déjà montré que pour tout x>0 (et même pour tout réel x) converge

Mais pour ce qui est de la limite... je bloque complétement.
je pensais que c'était peut-être 0, mais je n'arrive pas du tout à prouver quoi que ce soit (sur certains cas très particuliers j'ai montré que ça tendait vers 0, mais ce n'est que sur des cas particuliers)


Je pensais utiliser le fait que comme f est continue et périodique, f est uniformément continue, mais je n'aboutis à rien :

J'étais parti sur le fait que :

f est bornée sur R, je note M un majorant de |f|
et

donc si on se donne comme



et

on peut trouver tels que

pour x assez grand :



et donc :





Si quelqu'un peut m'aider svp

[Maxmau]

Bonjour ou bonsoir,


J'essaye de faire un exercice sur les intégrales à paramètre, mais cela fait un bon moment que je bloque.


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Soit une fonction continue et périodique de R dans R
Soit une fonction continue par morceau de R dans R et intégrable sur R

Je dois déterminer


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J'ai déjà montré que pour tout x>0 (et même pour tout réel x) converge

Mais pour ce qui est de la limite... je bloque complétement.
je pensais que c'était peut-être 0, mais je n'arrive pas du tout à prouver quoi que ce soit (sur certains cas très particuliers j'ai montré que ça tendait vers 0, mais ce n'est que sur des cas particuliers)


Je pensais utiliser le fait que comme f est continue et périodique, f est uniformément continue, mais je n'aboutis à rien :

J'étais parti sur le fait que :

f est bornée sur R, je note M un majorant de |f|
et

donc si on se donne comme



et

on peut trouver tels que

pour x assez grand :



et donc :





Si quelqu'un peut m'aider svp

bj
as tu essayé le cht de variable xt = u ?

[jonses]

bj
as tu essayé le cht de variable xt = u ?

Si, j'ai aussi essayé ça. J'ai pas vraiment abouti avec parce que dans l'intégrale on fait apparaitre la quantité > et je sais pas trop quoi faire avec ça (je pensais à la convergence dominée, mais pour ce qui est de la domination, j'ai un problème avec g(u/x))

[Maxmau]

Si, j'ai aussi essayé ça. J'ai pas vraiment abouti avec parce que dans l'intégrale on fait apparaitre la quantité > et je sais pas trop quoi faire avec ça (je pensais à la convergence dominée, mais pour ce qui est de la domination, j'ai un problème avec g(u/x))

Non c'est la quantité >
Comme g est intégrable sur R et f bornée sur R, l'intégrale (par rapport à u) de cette quantité est bornée par M/x où M est une constante

[jonses]

En fait je me suis trompé dans l'énoncé, désolé, c'est :



J'ai fait les corrections sur mon premier post (dsl)

Sinon, en effet le changement de variable aurait été très pratique

[Maxmau]

En fait je me suis trompé dans l'énoncé, désolé, c'est :



J'ai fait les corrections sur mon premier post (dsl)

Sinon, en effet le changement de variable aurait été très pratique

ah oui moins facile
je suggère d'appliquer le th de convergence dominée (après le cht de variable u = tx)

(remplacer x par xn suite qui tend vers +infini)

[jonses]

ah oui moins facile
je suggère d'appliquer le th de convergence dominée (après le cht de variable u = tx)

(remplacer x par xn suite qui tend vers +infini)

J'y ai pensé, mais je bloque aussi :

la quantité qui apparait dans l'intégrale après changement de variable u=tx est >

et si j'étudie la fonction h(x,u) qui a tout réel x>0 et tout réel u associe

elle est continue par rapport à u sur à x>0 fixé,

pour tout u réel h(x,u) tend vers 0 lorsque x tend vers l'infini (g à une limite finie en car continue par morceau)

mais je n'arrive pas à trouver une domination uniforme en x de h, c'est là où je bloque

[Maxmau]

J'y ai pensé, mais je bloque aussi :

la quantité qui apparait dans l'intégrale après changement de variable u=tx est >

et si j'étudie la fonction h(x,u) qui a tout réel x>0 et tout réel u associe

elle est continue par rapport à u sur à x>0 fixé,

pour tout u réel h(x,u) tend vers 0 lorsque x tend vers l'infini (g à une limite finie en car continue par morceau)

mais je n'arrive pas à trouver une domination uniforme en x de h, c'est là où je bloque

f est bornée sur R par une constante M
|h| < M |g(u/x)/x|
intégrale de |g(u/x)/x|du = intégrale de |g(t)|dt < +infini
il me semble que ça marche

non à revoir au temps pour moi

[Ben314]

Salut,
Si je me suis pas trop gouré, si on note une période de alors
où

Et je soupçonnerais assez fort que
où (valeur moyenne de )

[jonses]

Euh... je crois que là je suis perdu, pourquoi cette somme converge ?

[Ben314]

Regarde d'où ça peut bien sortir et on verra ensuite si tu ne vois toujours pas pourquoi cette somme converge (sauf erreur, quelque soit x>0 fixé, elle converge pour presque tout s de [0,T])