Fonction paire et impaire

[lomdefer]

Mon prof d'analyse nous a demander de démontrer que toute fonction de
R---->R se décompose de manière unique en somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

Déja on sait qu'une fonction paire c'est :
pour tout x appartient à Df, f(-x) = f(x)
une fonction impaire c'est :
pour tout x appartient à Df, f(-x) = -f(x)

Donc on veut montrer que :

h:R--->R
avec h(x) = (f(-x) ou f(x)) + (f(-x) ou -f(x))

Est-ce que je commence bien déja ??

[Zebulon]

Bonjour,
commencez par regarder les conditions nécessaires :
soit , telles que f paire, g impaire et h=f+g.
Alors f=h-g. Et que vaut h(-x)? Déduisez-en la valeur de f.
Même raisonnement pour trouver la valeur de g.
Il ne reste plus qu'à montrer que les f et g trouvées vérifient bien les hypothèses.
Bon courage et n'hésitez pas à demander de l'aide si ça coince!

[lomdefer]

Alors sur internet je vien de trouver la démonstration sauf qu'il y a quelque chose que je comprend pas.
Déja voici la démonstration :



Y a t-il une raison pour qu'on choissisent h(x) et g(x) sous cette forme ??

[Zebulon]

Oui, il y a une raison! En effet, si on suppose qu'elles existent, on les trouve de cette forme.

[Alpha]

Salut, en fait on peut très bien trouver h et g en raisonnant par conditions nécessaires,

c'est-à-dire que tu poses f = g+h et que tu supposes g paire, h impaire,
alors tu exprimes f(x) et f(-x), ça te donne un système, ensuite tu additionnes ou soustraits les 2 lignes ainsi obtenues, ce qui en utilisant la parité de g et h te permet d'exprimer g et h en fonction de f, et de trouver le f et le h de l'énoncé.

Cette méthode a pour mérite de prouver directement l'unicité en même temps que l'existence, car puisqu'on peut remonter les égalités les fonctions g et h trouvées vérifient évidemment les conditions souhaites, ce qui est d'ailleurs immédiat d'après leurs expressions.

[lomdefer]

J'ai beau écrire des lignes et des lignes de calcul ben j'arrive a rien :
On pose f = g +h
avec g paire et h impaire.
Ona donc : g(x) = g(-x) et h(x) = -h(x).
On aurait alors :
f(x) = g(x) + h(x) ou f(x) = g(-x) -h(x).
Donc la je crois que j'ai correctement exprimer f(x) mais pour f(-x) j'y arrive pas...

[Zebulon]

f(x) = g(x) + h(x) ou f(x) = g(-x) -h(x).

Je ne comprends pas ce ou.
On a plutôt f(x)=g(x)+h(x) et f(-x)=g(x)-h(x).
Donc, d'après la première équation, g(x)=f(x)-h(x) et, d'après la deuxième, g(x)=f(-x)+h(x) donc f(x)-h(x)=f(-x)+h(x) donc 2h(x)=f(x)-f(-x) donc . Voilà pour déterminer la fonction impaire. A vous de jouer pour déterminer l'autre.

[lomdefer]

pour la fonction impaire :

d'aprèe la première equation de f(x) :

d'après la secande équation de f(-x):

donc:



Maintenant si on fait la somme de :

[lomdefer]

Merci j'ai pu faire l'exo !!
Maitenant j'ai une autre question:
il faut montrer que toute fonction de R dans R se décompose toujours comme la différence de deux fonctions positives.
Je pense que c'est le même principe :
on pose avec et
(1)
(2) j'arrive pas a trouver f(-x)
c'est g(x)+h(x) ou g(-x) + h(-x) ??

[Alpha]

Salut, tu poses g(x) = f(x) si f(x) positif, 0 sinon
h(x) = -f(x) si f(x) négatif, 0 sinon

Alors clairement pour tout x, f(x) = g(x) - h(x) ...

A+

[lomdefer]

pourquoi faut t-il pauser g(x) = f(x) si f(x) positif, 0 sinon
h(x) = -f(x) si f(x) négatif.
Parce que si f(x) >0 alors g(x)>h(x)
et si f(x)<0 alors g(x)
je vois pas le rapport...dsl

[Alpha]

Eh bien réfléchis...

[lomdefer]

on a :
si alors on a :

si alors on a :

Mais a quoi sa sert ??

[Alpha]

Ca sert à résoudre l'exo, tu le verrais si tu lisais plus attentivement ce que j'ai écrit...

[Zebulon]

Alpha vous propose le truc suivant :
Soit , alors
si f(x)>0, on pose g(x)=f(x) et h(x)=0
si f(x)0 alors on pose g(x)=f(x)
est différent de
si f est positive alors on pose g=f.

[lomdefer]

Et ben franchement j'arrive pas a comprendre...tant pis

[Zebulon]

Précisément, qu'est-ce que vous ne comprenez pas?
Prenons un exemple, peut-être que ce sera plus clair.

Soit définie par :
pour tout , .

Comment construire g et h deux fonctions réelles, positives, et telles que f=g-h (c'est-à-dire telles que pour tout , f(x)=g(x)-h(x))?

Pour construire ces deux fonctions, il suffit de dire quelle est l'image de x par g et h, pour tout x réel.

Soit , alors trois cas peuvent se produire : soit f(x)>0, soit f(x)0, alors soit g(x)=f(x) et h(x)=0.
Si f(x)0 alors g(x)-h(x)=f(x)-0=f(x).
Si f(x)0, alors g(x)=f(x)0.
Si f(x)0, alors g(x)=00.

(iii). h est-elle positive?
A vous de répondre...


Dans l'exemple, sauriez-vous me donner g et h? Et en général, quels sont leur graphe?