Fonction paire et impaire

[Nath]

Bonjour,

J'ai un exercice de fonction:

Pour les fonctions f(x) et g(x), montrer que:

(a) f(x) - g(x) est pair si f(x) et g(x) sont tous les deux paire.
(b) f(x) x g(x) est pair si tous les deux sont impaire.

Je pense qu'il faut que j'utilise:
f(x)=f(-x) et -f(x)=f(-x)

Mais je ne sais pas comment.

Merci d'avance!

[MoonX]

C'est exactement ce que tu dois utiliser !

Que veut dire "f(x)-g(x) est pair" ? Idem pour f(x) x g(x) ?

[chombier]

Première chose, f et g sont des fonctions définies sur R. f(x) et g(x) ne sont pas des fonctions. On va corriger l'énoncé avant toute chose :

f et g sont deux fonctions numériques définies sur R.

Montrer que :
a) si f et g sont paires, alors (f-g) est paire
b) si f et g sont impaires, alors (fg) est impaire

a) Supposons que f et g sont paires
c'est à dire que pour tout x réel, f(-x)=f(x) et g(-x)=g(x)
Montrons que (f-g) est paire c'est à dire que pour tout réel x, (f-g)(-x) = (f-g)(x)

Soit x un réel. Alors (f-g)(-x) = ... (to be continued)

[Nath]

Première chose, f et g sont des fonctions définies sur R. f(x) et g(x) ne sont pas des fonctions. On va corriger l'énoncé avant toute chose :

f et g sont deux fonctions numériques définies sur R.

Montrer que :
a) si f et g sont paires, alors (f-g) est paire
b) si f et g sont impaires, alors (fg) est impaire

a) Supposons que f et g sont paires
c'est à dire que pour tout x réel, f(-x)=f(x) et g(-x)=g(x)
Montrons que (f-g) est paire c'est à dire que pour tout réel x, (f-g)(-x) = (f-g)(x)

Soit x un réel. Alors (f-g)(-x) = ... (to be continued)

Merci Chombier d'avoir répondu.

Donc si j'ai bien compris:

a) Montrons que (f-g) est paire c'est à dire que pour tout réel x, (f-g)(-x) = (f-g)(x)
Soit x un réel.
Alors (f-g)(-x)= -f(x) + g(x)
= x(-f+g)
= x(f-g)

b) Montrons que (fg) est impaire c'est à dire que pour tout réel x, -(fg)(x) = (fg)(-x)
Soit x un réel.
Alors -(fg)(x)
= -f x -g x (-x)
= -(fg)(x)

[chombier]

Correction :

(f-g)(-x)= f(x) - g(x)

Sinon, je ne comprends pas du tout ce que signifie x(-f+g) dans le contexte.

x n'est pas une fonction, tu ne peux pas parler de l'image de (-f+g) par la fonction x

[Nath]

Correction :

(f-g)(-x)= f(x) - g(x)

Sinon, je ne comprends pas du tout ce que signifie x(-f+g) dans le contexte.

x n'est pas une fonction, tu ne peux pas parler de l'image de (-f+g) par la fonction x

Ah oui en effet, x n'est qu'un réel.

donc est ce que ceci est correcte si j'écris seulement ça ou je suis complètement à côté de la plaque:
(f-g)(-x)= f(x) - g(x) = (f-g)(x) ?

[chombier]

Tu est sur la bonne voie mais ça ne suffira pas.


a) Montrons que (f-g) est paire c'est à dire que pour tout réel x, (f-g)(-x) = (f-g)(x)
Soit x un réel.
Alors (par définition)
(car f et g sont paires)
(par définition)

pour tout réel donc est une fonction impaire

[zygomatique]

Merci Chombier d'avoir répondu.

Donc si j'ai bien compris:

a) Montrons que (f-g) est paire c'est à dire que pour tout réel x, (f-g)(-x) = (f-g)(x)
Soit x un réel.
Alors (f-g)(-x)= -f(x) + g(x)
= x(-f+g)
= x(f-g)

b) Montrons que (fg) est impaire c'est à dire que pour tout réel x, -(fg)(x) = (fg)(-x)
Soit x un réel.
Alors -(fg)(x)
= -f x -g x (-x)
= -(fg)(x)

salut

visiblement il y a méconnaissance sur ce qu'est une fonction