Fonction intégrable

[mrif]

L'énoncé étant ambigu sur la bornitude de f on peut envisager les 2 cas:

1) Si f est bornée alors il existe M tq .
Comme est positive est soit finie, soit infinie.
où est la mesure de Lebesgue de . Comme est finie,car est borné, on en déduit que est intégrable, donc f est intégrable. Mais son intégrale n'est pas nécessairement nulle (voir contre exemple donné par Ben314).

2) Si f n'est pas bornée alors f n'est pas nécessairement intégrable comme je l'ai montré dans un post précédent.

[Ben314]

Ton contre exemple montre que si f est intégrable, son intégrale n'est pas nécessairement nulle; mais il ne montre pas que f n'est pas nécessairement intégrable.

Oui, mais avec ma façon (sans doute erronée) de voir l'énoncé, à savoir en supposant f bornée sur E lui même borné, vu qu'on a monté que f mesurable sur E, il me semble bien que f va forcément être intégrable sur E.