Fonction intégrable

[joanie58]

Bonjour,

voici mon énoncé:

soit f(x) une fonction bornée intégrable sur . Peut-on conclure que f est intégrable au sens de Lebesgue sur E et que ?

__

[Ben314]

Salut,
J'aurais tendance à considérer que ce n'est pas super correct en particulier du fait que tu utilise le symbole avant d'avoir montré que était intégrable.
Si était positive et mesurable, tu pourrait écrire avant d'avoir montré l'intégrabilité (la valeur de l'intégrale pouvant éventuellement être +oo et pour montrer que f est effectivement intégrable, il faut montrer que ce n'est pas le cas)
Sauf que f n'est pas supposé positive et que tu n'a pas montré que f était mesurable...

Pour "positive", c'est pas super génant : tu met une valeur absolue et basta, mais il me semble qu'il faut quand même un petit laïus concernant "mesurable" non ?

Plus loin, ton , idem, si tout est positif, c'est clair, mais ici, ce n'est pas le cas donc... c'est pas clair...

[joanie58]

est-ce que si f est intégrable sur chaque E_n... cela veut dire que f est mesurable sur chaque E_n... et je ne pourrais pas ainsi conclure que f est mesurable sur E ??

[Ben314]

(1) est-ce que si f est intégrable sur chaque E_n... cela veut dire que f est mesurable sur chaque E_n... (2) et je ne pourrais pas ainsi conclure que f est mesurable sur E ??

(1) oui (c'est dans la définition)
(2) ça doit forcément être ça vu que... on voit pas bien ce que ça pourrait être d'autre... :marteau:
M'enfin, tu conviendra que c'est pas "carré-carré" comme argument... :zen:

[joanie58]

(1) oui (c'est dans la définition)
(2) ça doit forcément être ça vu que... on voit pas bien ce que ça pourrait être d'autre... :marteau:
M'enfin, tu conviendra que c'est pas "carré-carré" comme argument... :zen:

Mais dans mes note de cours j'ai quelque chose qui dit que si f est mesurable et borné sur E, alors f est intégrable au sens de Lebesgue sur E...

pour f bornée je crois avoir montré... et mesurable est-ce que je dois en dire plus que ce que j'ai dit?

[Ben314]

Si pour montrer que f est mesurable sur E, tu compte uniquement écrire que :

f est mesurable sur chaque E_n DONC f est mesurable sur E

ça me semble "un peu short".

Si tu passe un oral, que tu dit un truc pareil, il est fort probable qu'on te demande de "détailler un peu plus"...

[joanie58]

Si pour montrer que f est mesurable sur E, tu compte uniquement écrire que :ça me semble "un peu short".

Si tu passe un oral, que tu dit un truc pareil, il est fort probable qu'on te demande de "détailler un peu plus"...

soit M la famille de tous les ensembles mesurables, je crois qu'on a montré en classe que M est une sigma-algèbre. Donc si on a alors que car M est une sigma-algèbre
=> E est mesurable.

Est-ce que cela suffit pour expliquer que E est mesurable?

[Ben314]

Ca me semble pas super clair comme argument (c'est quoi ton ?)

Perso, j'aurais écrit que, pour tout borélien A de R, on a (où est la restriction de à )
Et les sont dans la tribu sur E vu que est intégrable (faut aussi supposer que les sont dans la tribu sur E : y'a qu'à dire que c'est sous entendu dans l'énoncé...)
Donc est dans la tribu sur E

[joanie58]

oki voilà donc ce que j'ai fait:

Soit on a que

on a alors que f est bornée sur E
Comme f est mesurable et bornée sur E, on que f est intégrable au sens de Lebesgue sur E


Toutefois, on a que les E_n ne sont pas nécessairement disjoints
=>

et comme f(x) n'est pas une fonctions strictement positive on a que peut être négative.

Est-ce correcte?

et j'aimerais trouver un exemple de fonction définie comme dans l'énoncé t.q. soit négative..mais rien ne me vient à l'esprit

[Ben314]

De plus, on a que f est borné sur E_n on a alors que f est bornée sur E
Comme f est mesurable et bornée sur E, on que f est intégrable au sens de Lebesgue sur E

Le premier point ne va pas :
- Si on savait uniquement que f était borné sur chaque En, on en déduirait pas qu'elle est bornée sur E : par exemple x->1/x est bornée sur tout En=[1/n,1] mais pas sur la réunion des En qui est ]0,1].
Heureusement, ici, le fait que f est bornée sur E fait parti des hypothèses (si on savait uniquement que f est bornée sur chaque En, le résultat serait faux)

Le deuxième, c'est O.K., mais ça me semblerais utile de préciser que ça provient du fait que E est supposé borné (j'ai failli dire que c'était faux, puis je suis retourné voir les hypothèses)

Pour ton contre exemple, tu trouvera pas : si une fonction f vérifie les hypothèses de ton truc, alors la fonction -f vérifie les mêmes hypothèses donc... la même conclusion, à savoir que l'intégrale de -f est négative.

Remarque :
ça

Toutefois, on a que les E_n ne sont pas nécessairement disjoints
=>

ça ne me semble pas super clair pour une fonction non nécessairement positive.
Tu es sûr de ton coup (i.e. tu as un théorème qui te vend ça ?)

[joanie58]

Remarque :
çaça ne me semble pas super clair pour une fonction non nécessairement positive.
Tu es sûr de ton coup (i.e. tu as un théorème qui te vend ça ?)

J'ai oublier une intégrale!



oki donc si je dis que f(x) est borné sur pour tout n et que comme est un ensemble borné on a alors que f(x) est borné sur E

est-ce que cela suffit?

[joanie58]

Merde mon professeur semblait dire que ce n'était pas intégrable, je ne comprend pas pourquoi.....

[Ben314]

Ca signifie que ça, effectivement, c'est faux pour des fonctions non positives.

[mrif]

Merde mon professeur semblait dire que ce n'était pas intégrable, je ne comprend pas pourquoi.....

La notion de mesurabilité d'une fonction est globale à la tribu et n'est pas spécifique à un élément de la tribu. Le fait que f soit intégrable sur un élément de la tribu sous entend que f est mesurable.

Si on veut chercher la petite bête alors on revient aux définitions:
Dire que f est intégrable sur cela veut dire que la fonction est intégrable donc mesurable, on en déduit que est mesurable

Pour la question de l'exo, voici un contre exemple:

On prend pour tout n, et on considère la fonction f définie sur par .
La fonction f vérifie bien les hypothèses sur les , et pourtant elle n'est pas intégrable.

Edit: Il y a une erreur sur l'expression des que j'ai corrigée:
.

[Ben314]

...La fonction f vérifie bien les hypothèses sur les ...

Oui, mais elle ne vérifie pas l'hypothèse "f bornée sur E".

En fait, Il me semble que, si les En forment une famille croissante de parties de E alors le résultat sera vrai.

[mrif]

Oui, mais elle ne vérifie pas l'hypothèse "f bornée sur E".

D'après l'énoncé, f est bornée et intégrable sur et pas sur E.

[Ben314]

C'est effectivement une des deux façon d'interpréter l'énoncé

soit un ensemble borné et f(x) une fonction bornée intégrable sur

Perso, j'avais compris ça sous la forme :
Soit f une fonction [bornée (sous entendu sur sur E)] et [intégrable sur chaque En]
Mais c'est effectivement peut-être à comprendre plutôt sous la forme :
Soit f une fonction [[bornée et intégrable] sur chaque En]

Ton point de vu est sans doute plus pertinent vu l'absence de virgule entre le terme "borné" et "intégrable".


De toute façon, ça ne change pas grand chose vu que, même avec f bornée sur E tout entier, le résultat est faux.
(un truc que l'énoncé ne dit clairement pas, c'est que la suite En est croissante)

[mrif]

C'est effectivement une des deux façon d'interpréter l'énoncé
Perso, j'avais compris ça sous la forme :
Soit f une fonction [bornée (sous entendu sur sur E)] et [intégrable sur chaque En]
Mais c'est effectivement peut-être à comprendre plutôt sous la forme :
Soit f une fonction [[bornée et intégrable] sur chaque En]

Ton point de vu est sans doute plus pertinent vu l'absence de virgule entre le terme "borné" et "intégrable".


De toute façon, ça ne change pas grand chose vu que, même avec f bornée sur E tout entier, le résultat est faux.
(un truc que l'énoncé ne dit clairement pas, c'est que la suite En est croissante)

Si f est bornée on a ce contre exemple:
et et f définie par f(x) = sinx.

Edit: Ne pas tenir compte de ce post: ça ne fonctionne pas car n'est pas borné.

[Ben314]

En ne supposant que ce qu'il y a d'écrit sur les En, à savoir que la réunion est E, le contre exemple est on ne peut plus simple :
E=[0,3] ; f(x)=1 sur [0,1] et sur [2,3] et f(x)=-1 sur ]1,2[ ; E1=[0,2], E2=[1,3].

[mrif]

En ne supposant que ce qu'il y a d'écrit sur les En, à savoir que la réunion est E, le contre exemple est on ne peut plus simple :
E=[0,3] ; f(x)=1 sur [0,1] et sur [2,3] et f(x)=-1 sur ]1,2[ ; E1=[0,2], E2=[1,3].

Ton contre exemple montre que si f est intégrable, son intégrale n'est pas nécessairement nulle; mais il ne montre pas que f n'est pas nécessairement intégrable.