Fonction implicite

[legeniedesalpages]

Bonjour,

au début de mon cours sur les fonctions implicites, je trouve cet exemple:

L'équation définit comme fonction implicite de (pour tout réel, on a une équation de degré impair en , qui admet donc au moins une solution). On ne sait pas exprimer cette fonction explicitement à l'aide de fonctions élémentaires.

Déjà, je ne vois pas comment bien définir cette fonction implicite, car il peut il y avoir plusieurs solutions, à ce moment-là il faudrait en choisir une seule d'une certaine façon.

Ensuite, comment sait-on que cette fonction ne peut s'exprimer explicitement à l'aide de fonctions élémentaires, et alors à l'aide de quel genre de fonction peut-on l'exprimer? :hein:

Merci pour votre aide

[fahr451]

bonjour

le théorème est LOCAL

et localement il n 'y a qu 'une solution

[legeniedesalpages]

bonjour fahr,

de quel théorème parles-tu?

Je croyais que l'on pouvait dans cet exemple définir une fonction implicite sur tout ?

Si pour tout réel , on note une des solutions de cette équation d'inconnue , la fonction est une fonction implicite définie sur , non?

[fahr451]

le théorème des fonctions implicites...celui que tu cites dans ton post

[legeniedesalpages]

ah pardon, juste apres cet exemple, il y a un théorème qui parle de l'unicité de la solution localement (mais avec pas mal de conditions apparemment), je vais regarder ça de plus près. :marteau:

[legeniedesalpages]

On ne sait pas exprimer cette fonction explicitement à l'aide de fonctions élémentaires.

ça veut dire qu'on ne peut pas, ou qu'on ne sait toujours pas le faire?

[legeniedesalpages]

Alors voilà le théorème que me donne ensuite le bouquin:

Soit une fonction continûment dérivable dans une partie ouverte de . Soit un point de tel que . Supposons . Il existe des nombres possédant les propriétés suivantes:

(i) Pour dans , l'équation en :

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admet une solution unique dans

(ii) Si désigne cette solution, la fonction est continûment dérivable dans .

(iii) On a

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dans .

En fait (i) et (ii) sont admis dans le bouquin, et déjà je voulais savoir comment je pourrais m'y prendre pour démontrer (i).

Merci pour toute indication.

[abcd22]

Bonjour,
La démonstration utilise le théorème d'inversion locale pour la fonction g(x,y) = (x, f(x,y)), cherche un livre où il y a toutes les démonstrations...

[legeniedesalpages]

ok merci abcd22, je viens d'en trouver un,je mets à la tâche :)