Fonction implicite classe et paramétrisation

[ThekamikazeFou]

bonjour, j'ai quelque question dont je ne trouve pas de réponse compréhensible.

soit une fonction f(x,y) et A(a,b) appartenant à f

si df/dy (A) = cst

cela signifie automatiquement que localement la fonction est paramétrable par x ? soit phi(y)=x ?

comment savoir et que signifie que la fonction est de classe c^oo ? (classe infinie)

merci.

[Doraki]

Quand tu dis "une fonction f(x,y)", tu veux dire une fonction f : R² -> R ?

Un point A = (a,b), ça ne peut pas appartenir à une fonction. A la rigueur on pourrait comprendre "appartenant au graphe de f" mais dans ce cas-là ça voudrait dire a = (x,y) et b = f(x,y) pour certains x et y.

df/dy(A), c'est un nombre, donc je vois pas trop ce que tu veux dire quand tu dis qu'il est constant.

[ThekamikazeFou]

il s'agit de fonction à 2 variables, donc f(x,y) ou z=ax^2+by^2+cx+dy+e

donc A(a,b) appartient à f(x,y) signifie que la fonction f(x,y) passe par le point A à une ligne de niveau donné.

ensuite df/dy(A) est la dérivé partiel de f(x,y) suivant y au point A.
donc je calcul la dérivé partiel puis je remplace les coordonnées de A dans le résultat trouvé.

[Doraki]

donc A(a,b) appartient à f(x,y) signifie que la fonction f(x,y) passe par le point A à une ligne de niveau donné.

Dans ce cas là tu dis "A(a,b) appartient à la ligne de niveau définie par f(x,y) = f(a,b)" et pas "A(a,b) appartient à f(x,y)" (qui est incompréhensible).
D'ailleurs tous les points appartiennent à une ligne de niveau, donc ça ne nous dit vraiment pas grand chose sur A. "Soit A(a,b) un point" ça marche aussi.

ensuite df/dy(A) est la dérivé partiel de f(x,y) suivant y au point A.
donc je calcul la dérivé partiel puis je remplace les coordonnées de A dans le résultat trouvé.

Oui donc tu trouves un nombre.
Par exemple si f(x,y) = x²-xy" et que A est le point (x=1,y=7), eh ben df/dy(A) = -1.

Maintenant je comprends pas ce que tu veux dire quand tu dis "si df/dy(A) = cst".

[ThekamikazeFou]

ok merci,
cst = "constant"
dans mon exercice j'ai df/dy(A) = 5/7 il me semble.

et on en conclue que ocalement la fonction est paramétrable par x, soit phi(y)=x

pourquoi?

[Doraki]

Ben je sais pas, tout ce que tu écris n'a aucun sens.
df/dy(A) c'est un nombre.
Dire que c'est une constante ça ne veut rien dire si tu dis pas qu'est-ce que tu fais varier qui laisse ce truc constant. Et c'est pas clair ce qui est fixe et ce qui varie dans ton "soit une fonction f(x,y) et A(a,b) appartenant à f"

Quelle fonction est paramétrable par x ? pour l'instant tu n'a parlé que d'une seule fonction, f.
Donc f est paramétrable par x ? "phi(y)=x" ça ne veut rien dire.
Peut-être voulais tu dire "il existe une fonction phi : R -> R telle que f(x,y) = phi(x) " ?
ou alors "il existe une fonction phi : R -> R telle que f(x,y) = f(A) <=> y = phi(x) " ?

Ptetre que tu peux poster les détails de ton exercice ?

[ThekamikazeFou]

je ne peux pas divulguer l'exercice mais voici les questions et la manière dont nous avons répondu :

soit une fonction f(x,y)= a*cos(xy)+b*sin(x+y) et un point A(C,D) passant par la ligne de niveau K

montrer qu'au voisinage de A la ligne de niveau K est la courbe représentative d'une fonction phi(x)=y


réponse :
on a calculé la dérivé partiel au point A à x constant :
df/dy(A) = E

et on en à déduit directement que localement la fonction était paramétrable par x (pourquoi? )
que y=phi(x)

et que f était de classe C^oo que le plan donc phi aussi. (pourquoi? )

je ne comprends pas comment arrivé à ces conclusion.

merci