Fonction et différentiabilité

[Ncdk]

Bonjour,

On pose pour ,

1) Montrer que est continue sur et de classe sur et calculer sa matrice jacobienne en pour

2) Montrer que admet en des dérivées partielles et que l'on calculera. La fonction est-elle différentiable en ?

Pour la 1. C'est ok !

Mais pour la seconde je sais pas comment calculer les dérivées partielles en (0,0) et comment dire que f admet des dérivées partielles ? Il suffit de calculer et voir qu'elles existent pour dire que c'est ok ?

[Robot]

Les dérivées partielles à l'origine sont les dérivées des fonction et , tout simplement.

[Ncdk]

Les dérivées partielles à l'origine sont les dérivées des fonction et , tout simplement.

Bonsoir,

Est-ce que c'est par définition, comme je me souviens plus tellement des définitions, j'ai quand même de bons souvenirs, mais je voulais m'en assurer en apprenant ce genre de définitions

[MouLou]

Si tu écris vraiment la définition tu verras que c est exactement la même chose oui!

[Ncdk]

Bah en fait je trouve pas la définitions qui permet de retomber sur ça...

[MouLou]

En fait c'est plutot:

La dérivée partielle à l'origine dans la direction e1=(1,0) est la dérivée en 0 de la fonction .

C'est plus clair?

Et pareil pour l'autre

La définition dans le cas général:

La dérivée partielle en un point suivant la direction est le nombre:



Tu vois qu'en utilisant la notion de dérivée en une dimension, cela coincide

[Ncdk]

Ah donc pour les directions c'est soit (1,0) quand on étudie la dérivée partielle suivant x, et (0,1) pour y.

Du coup en utilisant la définition il suffit de remplacer (x,y) par (0,0)

et j'obtiens un truc du style :

est-ce correcte ?

La direction change quand en fait ?

[MouLou]

Ce que t'as écrit c'est pour la direction e1=(1,0) oui. Donc tu vois bien que ca correspond exactmenet à la dérivée en 0 de .

Par contre je comprends pas ta dernière question:

"La direction change quand en fait"

Quelle direction? Changer en qoui?

[Ncdk]

On prend selon la direction (1,0), certes ça fonctionne mais quand est-il si on prend une autre direction ? (1,1) par exemple.

[MouLou]

Bah tu réappliques la définition de la dérivée partielle au vecteur (1,1). donc ca fait

[Ncdk]

Oui pour appliquer la définition ça va, mais ce qui coince c'est le lien avec la dérivée partielle, pourquoi dans mon exercice je dois prendre la direction (1,0).

Car comme je comprends pas, si j'applique ça et qu'au final un truc à changé dans l'énoncé, c'est droit dans le mur :p

[MouLou]

Parce qu'on te demande de calculer et :

Cela correspond exactment aux la direction (1,0) et (0,1)

[Ncdk]

D'accord et dans le cas des dérivées partielles au point (2,1) ça se passe comment niveau direction :zen:

[MouLou]

Bah comme pour (0,0) et n'importe quelle direction, comme la définition que jtai donnée dans le cas général quoi

T'as justes 2 trucs a voir:

-Le point ou tu différencies

-La direction suivant laquelle tu différencies. En gros tu te donne un vecteur et tu prend la demi droite portée par ce vecteur et passant par le point en question, et tu regardes comment se comporte ta fonction sur cette demi droite.

[Robot]

Moulou complique les choses en parlant de dérivée suivant un vecteur.
Les dérivées partielles d'une fonction de deux variables sont les dérivées des fonctions d'une variable obtenues en ne faisant varier qu'une seule des variables à la fois.
La dérivée par rapport à (resp. par rapport à ) de la fonction au point est la dérivée en de la fonction (resp la dérivée en de la fonction ).
Alors, tu les calcules à la fin, ces dérivées partielles ?

[Ncdk]

D'accord merci, bah le reste j'ai finis du coup.

La façon dont est posé la question sur la différentielle en (0,0), j'ai supposé qu'elle l'était et j'ai trouvé un résultat différent de 0 en application la définition.

[Robot]

La façon dont est posé la question sur la différentielle en (0,0), j'ai supposé qu'elle l'était et j'ai trouvé un résultat différent de 0 en application la définition.

Qu'est-ce que tu veux dire ? Tu crois que la fonction est différentiable à l'origine ? Quel résultat différent de 0 ?

[Ncdk]

Non justement, j'ai fait par l'absurde.

J'ai dit supposons qu'elle est différentiable en (0,0) et je suis arrivé à une absurdité, c'est-à-dire qu'en application la définition j'ai obtenu et non pas quelque chose qui tend vers 0.

[Robot]

Je ne comprends rien à ce que tu écris. Pourrais-tu être plus clair ? C'est quoi ce ???

[Ncdk]

Je vais écrire toute ma réponse, plus facile.

Tout d'abord, les dérivées partielles suivant x (resp. y) en (0,0) c'est 1 et .

Supposons f différentiable en (0,0) alors on note tel que

J'ai décidé de posé h=k, pour simplifier certains calculs et d'observer le résultat final.

Donc

Si je fais pas d'erreur, donc f n'est pas différentiable en (0,0)