Fonction continue

[ludo60]

Bonjour,

Soit un espace métrique et une application telle que si , alors
.

Soit enfin g une application de E dans définie par .

1) Montrer que f est continue: j'ai dis qu' étant lipschitzienne, alors elle est continue.
2) Montrer que g est continue. Je sèche... Je fixe . Pour x et y "assez proches", je dois majorer par , c'est à dire et ne sais plus quoi faire....

Merci d'avance pour votre aide

[Robot]

Un petit coup d'inégalité triangulaire, et ça repart !
Tu ne dois pas minorer , tu dois le majorer.

[ludo60]

Oui, le majorer, j'ai modifié!

Je suis désolé, je n'y arrive toujours pas...

On a donc d'après l'inégalité triangulaire.

Puisque la fonction est continue, je peux majorer autant que je veux en prenant x et y suffisamment proches mais pas . Alors j'ai essayé des trucs du genre mais je tourne en rond...

[Ben314]

Fait un dessin avec x et y très proches (donc f(x) et f(y) très proches) mais par contre x très loin de f(x) (ce qui est tout à fait possible) et tu verra ce qu'il faut écrire (et peut-être encore plus ce qu'il ne faut pas écrire vu que ça majore du "petit" par du "très grand")

[Robot]

Fais un petit dessin, ça pourra t'aider.
Pour aller de x à f(x), on peut aller de x à y, puis de y à f(y), puis de f(y) à f(x).

[Robot]

Alors j'ai essayé des trucs du genre mais je tourne en rond...

Y'a de l'idée, mais il y a un d(y,f(y)) en trop des deux côtés.
Edit : non, en fait, j'ai cru voir ce que j'espérais voir, mais ce n'est pas ça !

[ludo60]

J'ai trouvé! Merci à vous deux!

.
Donc,

Même chose en partant de pour obtenir: .

Donc, que l'on peut rendre aussi petit qu'on veut.