Intégrale nulle d'une fonction positive continue par morceaux

[chnafon]

Bonjour. On notera Int(f) l'intégrale de f sur I un intervalle réel quelconque, et " <= " le signe inférieur ou égal.

Comme vous le savez, pour une fonction continue positive, il y a équivalence entre Int(f) = 0 et f identiquement nulle.
Dans le cas de f C0 par morceaux, c'est plus compliqué Il est dit dans mon livre "Si Int(f) = 0, alors f est nulle sauf sur une partie de I dont l'intersection avec chaque segment de I est finie" je ne comprends cette précision alambiquée, mais intuitivement je dirais que f est nulle sauf en un nombre fini de points? .

Deuxièmement, une condition pour qu'on ait, pour f C0 par morceaux, Int(f) = 0 <=> f=0, et je cite (a et b désignent les extremités de I, a < b) "f continue en a (si a dans I) et continue à gauche en tout point".
Or prenons f de [1,3] dans R: f= 0 pour 1<= x <= 2 et f = 1 pour 2 < x <= 3. f est alors selon moi continue en 1 et continue à gauche en tout point donc f respecte ces conditions et pourtant son intégrale sur [1,3] n'est pas nulle..

Je ne comprends vraiment pas.

[Ben314]

Dans le cas de f C0 par morceaux, c'est plus compliqué Il est dit dans mon livre "Si Int(f) = 0, alors f est nulle sauf sur une partie de I dont l'intersection avec chaque segment de I est finie" je ne comprends cette précision alambiquée, mais intuitivement je dirais que f est nulle sauf en un nombre fini de points? ..

Ta vision intuitive (f est nulle sauf en un nombre fini de points) est correcte lorsque I est un intervalle fermé borné (i.e. un "segment").
Aprés, dans le cas de I quelconque, tout va dépendre de la définition que tu prend pour "f continue par morceaux sur I" :
Est que, par exemple, tu considère que la fonction de (qui n'est pas un segment) dans définie par (où désigne la partie entière) est ou n'est pas "continue par morceaux" sachant qu'elle admet une infinité de points de discontinuité, mais qu'elle n'en admet qu'un nombre fini sur tout segent [a,b] contenu dans ?
En général, on considère que oui (voir le mini paragraphe "sur un intervalle" sur wiki) vu que c'est suffisant comme condition pour pouvoir définir sans problème l'intégrale pour tout et dans I.
Donc avec cette définition là, la fonction f peut être "continue par morceaux" et être discontinue en une infinité de points MAIS, par contre, sur tout segment [a,b] contenu dans I, f n'aura qu'un nombre fini de discontinuités donc il n'y aura qu'un nombre fini de points où f est non nulle.

[quote="chnafon"]Deuxièmement, une condition pour qu'on ait, pour f C0 par morceaux, Int(f) = 0 f=0, et je cite (a et b désignent les extremités de I, a f=0", c'est à dire que, si une des deux propriétés "Int(f)=0" ou bien "f=0" est vérifiée alors forcément l'autre aussi.
Ta fonction ne représente donc absolument pas un "contre exemple" vu qu'elle ne vérifie ni "f=0" ni "Int(f)=0".

C'est la même chose que si tu disait que la phrase "pour tout réel x, on a x²=4 (x=2 ou x=-2)" est fausse parce que pour x=3, ça ne marche pas. Ben... si, pour x=3, la phrase "marche" vu que 3² n'est pas égal à 9 et que 3 n'est pas égal à 2 ou à -2..

[chnafon]

Merci de tes lumières Ben, j'ai tout compris :) Oui la fatigue s'amoncelle, les concours approchants..