Fonction continue et borne supérieure

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

Je suis bloqué sur la fin d'un exercice :

Soit une fonction continue de dans .

On définit la fonction par : ,

J'ai montré que est croissante, mais j'ai du mal à montrer qu'elle est continue.

J'ai essayé de me donner un point quelconque de et d'essayer de distinguer le cas où et le cas où
Mais même dans le premier cas je n'arrive pas à montrer que à une limite en qui est

Si quelqu'un peut m'aider svp, je le remercie d'avance

[mr_pyer]

Bonjour !

En fait le cas le plus simple c'est quand , utilise la continuité de en avec par exemple...

Dans l'autre cas écrit la définition de la continuité de en tu devrais t'en sortir...

[jonses]

[quote="mr_pyer"]Bonjour !

En fait le cas le plus simple c'est quand quelconque)

[mr_pyer]

Désolé de dire ça, mais j'ai toujours du mal à montrer la continuité de M en a. (en fait j'ai globalement beaucoup de difficultés concernant les fonctions réelles)

Résolvons le premier cas alors :

Supposons que tel que :
.
Donc , donc .
La fonction est constante dans un voisinage de , donc continue en .

[jonses]

Donc , donc .
La fonction est constante dans un voisinage de , donc continue en .

Si j'ai bien compris on a l’implication par passage à la borne sup dans l'inégalité ?

[jlb]

Résolvons le premier cas alors :

Supposons que tel que :
.
Donc , donc .
La fonction est constante dans un voisinage de , donc continue en .

il doit manquer une petite information, à savoir, si je ne me trompe: étha doit être assez petit pour que le plus grand des x0 tq f(x0)=M(a) vérifie x0<a-étha.
Qu'en penses-tu? Sinon, on pourrait avoir x dans ]a-etha,a+etha[ avec x<x0 et M(x)<M(a),non?
Après je dis peut-être n'importe quoi!!!

[mr_pyer]

Si j'ai bien compris on a l’implication par passage à la borne sup dans l'inégalité ?

En gros comme le sup ne bouge pas...

étha doit être assez petit pour que le plus grand des x0 tq f(x0)=M(a) vérifie x0<a-étha.
Qu'en penses-tu?

J'en penses qu'il n'y a pas de éta :lol3: Tu parlais du alpha j'imagine...
Non pas besoin de "le prendre assez petit" il est déjà "petit" par la condition ...

[jlb]

[quote="mr_pyer"]J'en penses qu'il n'y a pas de éta :lol3: Tu parlais du alpha j'imagine...
Non pas besoin de "le prendre assez petit" il est déjà "petit" par la condition [TEX]|x-a|1,9, f(x)=1,9-x avec a=2 (bien sur, 1,9 est pour illustrer, on peut prendre une valeur aussi proche de 2 que souhaité]

si tu ne contrôles pas alpha suffisamment, tu pourrais avoir à considérer M sur [0;1,85] et pour x dans cet intervalle, j'ai un doute en ce qui concerne la relation M(x)=M(2)=1,9.

[mr_pyer]

mais je pense vraiment qu'il y un soucis: considère f définie par: pour x dans [0;1,9] f(x)=x et pour x>1,9, f(x)=1,9-x avec a=2

si tu ne contrôles pas alpha suffisamment, tu pourrais avoir à considérer M sur [0;1,8] et pour x dans cet intervalle, j'ai un doute en ce qui concerne la relation M(x)=M(2).

Je pense que tu voulais écrire f(x)=1,9-(x-1,9) sinon ta fonction n'est pas continue.

Posons on a .
. On peut donc prendre par exemple .
Ce que je dis c'est que sur l'ensemble la fonction est constante égale à ...

Je me trompe ?

[jlb]

Je pense que tu voulais écrire f(x)=1,9-(x-1,9) sinon ta fonction n'est pas continue.

Posons on a .
. On peut donc prendre par exemple .
Ce que je dis c'est que sur l'ensemble la fonction est constante égale à ...

Je me trompe ?

oui, je crois (se tromper est un bien grand mot, de ma part!!!, je dirais une précision à rajouter), je confirme ce que je t'ai dis: si tu ne précises pas comment choisir alpha, ici alpha=<0,1, ton raisonnement peut être mis en défaut: à savoir si le plus grand x0 tel que f(x0)=M(a) appartient à [a-alpha,a] alors pour les valeurs dans [a-alpha,x0] tu n'auras pas ton égalité.

[mr_pyer]

oui, je confirme ce que je t'ai dis: si tu ne précises pas comment choisir alpha, ici alpha<0,1, ton raisonnement peut être mis en défaut: à savoir si le plus grand x0 tel que f(x0)=M(a) appartient à [a-alpha,a] alors pour les valeurs dans [a-alpha,x0] tu n'auras pas ton égalité.

Oui mais alpha ne peut pas être trop grand par la condition justement.
Par exemple n'est pas autorisé dans ton exemple...

Rappelons que l'on est dans le premier cas, on a supposé .

[jlb]

Résolvons le premier cas alors :

Supposons que tel que :
.
Donc , donc .
La fonction est constante dans un voisinage de , donc continue en .

Donc , donc .
c'est là que je tique, tu contrôles comment que M(a) est atteint par M sur [0,x] pour tous les x tels que tu les définis?

pas de soucis pour ceux dans [a , a+alpha [ mais pour les autres? c'est là que je te soumettais la précision à donner, tu pourrais avoir le plus petit x0 tel que f(x0)=M(a) dans cet intervalle et pour les valeurs dans ]a-alpha,x0[ que se passe-t-il?

[mr_pyer]

Donc , donc .
c'est là que je tique, tu contrôles comment que M(a) est atteint par M sur [0,x]?

Tout simplement parce que est plus petit que sa borne sup sur .

Notons un point tel que , par l'implication juste au dessus on voit que nécessairement ...

[jlb]

Tout simplement parce que est plus petit que sa borne sup sur .

Notons un point tel que , par l'implication juste au dessus on voit que nécessairement ...

autant pour moi!!! là maintenant, je suis convaincu, merci.
et hop, une leçon de grec et de math :++:

[mr_pyer]

Parfois un joli dessin (oui il est très joli !! :zen: mais les bosses sont pas censés dépasser M(a)) peut aider...
Dessin
Edit :

autant pour moi!!! là maintenant, je suis convaincu, merci.

Pas de soucis :we: