Fonction chaotique

[Archytas]

Salut je bloque pour montrer qu'une fonction est chaotique : avec la condition pour x tels que |F(x)| est dans I=[0,1] on impose |F'(x)|>1. Cela impose que . On définie Ao={x dans I tels que F(x) n'est pas dans I} F est définie sur l'ensemble \ avec pour tout n {} en gros les x qui partent de I par la n ème itération et tels que les F^i(x) sont dans I pour i<n. Je sais pas si ça peut aider mais on a démontré avant que Gamma est un ensemble de cantor.
A tout hasard je rappelle que une fonction chaotique vérifie les trois propriétés :
- Transitivité topologique
- Dépendance sensible aux conditions initiales
- L'ensemble de ses points périodiques est dense dans son ensemble de définition
Si vous pouviez me donner quelques indices, parce que je bloque sur ces trois points... Merci !

[Ben314]

Salut,
Je pense qu'il y a une erreur dans ta définition de An (qui telle quelle "se mord la queue"...) et qu'en fait

et donc qu'au final, .

Aprés (et sans calculs : j'ai la flemme...) je pense qu'on montre aisément que est la réunion de segments disjoints et que la restriction de à l'un quelconque de ces segments te fournit une bijection de ce segment sur I.
Tu en déduit l'existence d'un point fixe de sur le segment, c'est à dire d'un point périodique et ça suffit à montrer la densité des points periodiques dans .

Je regarde la suite, mais à mon avis, il faut "jouer" avec ces segments pour montrer à peu prés tout...

[Ben314]

- Concernant la densité topologique, l'hypothèse faîte sur la dérivée de doit te permettre de montrer que, si on note la longueur du plus grand des 2^n segments composant alors tend vers 0 lorsque n->oo.
Cela te permet de montrer que, si tu prend un ouvert quelconque de rencontrant (dont la trace sur est donc un ouvert quelconque non vide de ), il va entièrement contenir un de ces fameux petit segments pour un certain assez grand.
Comme tu conclue.

- concernant la "Dépendance sensible aux conditions initiales", je sais pas comment ça se traduit "proprement" au niveau mathématique, mais ce qu'on vient de voir signifie que, si tu prend un x quelconque de et un voisinage V aussi petit que tui veut du point x alors il existe un n tel que ce que j'interprèterais "naïvement" comme une "Dépendance sensible aux conditions initiales"..

[Archytas]

Oui c'est déjà démontré que In=I\A0uA1uA2u...uAn c'est une réunion de 2^(n+1) segments ! (avec An qui est une réunion de 2^n intervalles ouverts) j'ai pas mis toutes les propriétés mais en gros ce qui est démontré à ce stade c'est que F^n est strictement monotone sur tous les segments de In (on en déduit que puisque l'image par F^n de chacun de ces segments est I alors F^n admet 2^n points fixes). Et oui désolé il y avait un problème pour les An c'est x tels que pour tout i0, t.q. \forall x \in \Gamma, \forall V \in V(x), \exists y \in V, \exists n \in \mathbb{N}*, t.q. |F^n(x)-F^n(y)|> \delta [/TEX] en gros pour un x il existe des points assez proches qui s'éloignent suffisament de x en itérant F !

[Archytas]

Je viens de comprendre pour les points périodiques (: !
Juste pour montrer que la longueur des segments tend vers 0 ça marche ça :
or avec Jn,k les segments disjoints qui constituent In et sachant que la taille de Gamma est finie et donc nécessairement la taille des Jn,k tend vers 0, mais comment on définit la taille de Gamma :doh: ?

[Doraki]

Si t'as un point périodique dans un In, ce point sera dans tous les In donc il est dans ;).
Donc pour montrer que les points périodiques sont denses dans ;) il suffit de montrer que pour tout voisinage B(x,;)) d'un point x de ;), il existe un entier n et un petit intervalle J inclus dans In tel que J est inclus dans In.

Donc pour ça prends un entier n tel que In est composé d'intervalles de longueur < ;). Comme x est dans ;), x est dans tous les In, donc dans ce In là. L'intervalle J contenant x correspondant est alors inclus dans B(x,;)), et cet intervalle contient un point périodique.

;) n'est pas la limite des In (c'est l'intersection des In), et nulle part on te demande de mesurer la taille de ;). D'ailleurs nulle part on te demande de mesurer autre chose que des intervalles (ou des réunions finies d'intervalles disjoints).

Normalement, la suite de terme (taille de la réunion des An) devrait tendre vers 1 donc suite de terme ( taille de In) devrait tendre vers 0, ce qui implique que les intervalles composant In deviennent aussi petits que tu veux.

[Archytas]

Si t'as un point périodique dans un In, ce point sera dans tous les In donc il est dans .
Donc pour montrer que les points périodiques sont denses dans il suffit de montrer que pour tout voisinage B(x,;)) d'un point x de , il existe un entier n et un petit intervalle J inclus dans In tel que J est inclus dans In.

Donc pour ça prends un entier n tel que In est composé d'intervalles de longueur < . Comme x est dans , x est dans tous les In, donc dans ce In là. L'intervalle J contenant x correspondant est alors inclus dans B(x,;)), et cet intervalle contient un point périodique.

ok pour ça !

;) n'est pas la limite des In

pourtant In+1 est inclu dans In donc leur intersection est In+1 donc c'est bien la limite des In comme de l'intersection non ? Enfin ce que vous voulez dire c'est qu'on peut pas parler de limite d'ensemble ?

Normalement, la suite de terme (taille de la réunion des An) devrait tendre vers 1

Par quel argument ?

[Ben314]

Sauf erreur, ce que dit Doraki présuppose d'avoir déjà montré que la mesure de Lebesgue de est nulle.
Fait que tu as peut-être déjà montré dans la partie où tu montre que " est un ensemble de cantor".

Sinon, vu ton hypothèse sur la dérivée de F, c'est assez immédiat "à la main" :
Si on se place sur un intervalle [a,b] tel que , alors (T.A.F.) :
pour un certain t dans ]a,b[.
Si alors, par hypothèse, tu as et l'inégalité çi dessus te dit que :
(i.e. que la longueur de l'image par F du segment [a,b] est au moins égale à k fois la longueur du segment [a,b])

Tu n'a plus qu'à dire que, si on prend un des segments S=[a,b] de l'étape n, la fonction réalise une bijection de S sur [0,1] ce qui montre que

[Archytas]

C'est bon pour les trois points, merci à vous deux, bonne journée :) !
D'accord, merci ben, c'est plus construit que ce que j'avais fais en effet !