Fonction de carré intégrable

[Charmander]

Bonjour,

Soit f de R+ dans R de classe C1 telle que f+f' est de carré intégrable.
Montrer que:
- f bornée
- f tend vers 0 en +infini

J'ai montré que f est bornée sans grandes difficultés mais je bloque sur la deuxième question. Il faudrait déjà montrer que f converge... Mais on ne sait même pas si f est de carré intégrable. Il doit me manquer un résultat intermédiaire que je ne vois pas. Qqn pourrait m'aider ? Merci

[Ben314]

Salut,
Le seul truc qui me vient à l'esprit me semble bien compliqué...
On pose (continue) donc l'hypothèse devient
Sauf que l'équa. diff. a pour solutions .

On a alors, par Cauchy-Schwarz,

Et il suffit d'évaluer la deuxième intégrale pour conclure.


Edit : on conclue juste... que f est bornée.... mais pas plus.
Je pense qu'on peut conclure en écrivant avec A bien choisi (puis 2 fois Cauchy-Schwarz) mais c'est surement pas la "bonne" méthode...

[Charmander]

Salut,
Merci pour ton idée, mais comme on n'a pas encore fait les équations différentielles je ne pense effectivement pas que ce soit la bonne méthode.
Pour montrer que f bornée il y a beaucoup plus simple, il suffit d'intégrer entre 0 et x

Je pense que le premier pas doit être de montrer que f converge, mais j'y bloque :/

[Ben314]

Oui, effectivement, c'est... nettement plus simple...

Et pour la question 2), ton raisonnement ne marcherais pas en intégrant de à où a été choisi tel que , il existe des aussi grand qu'on veut tels que

[Charmander]

Je n'en suis pas sûr... En intégrant on obtient juste que est intégrable, mais pas nécessairement intégrable non ? Et puis je veux dire ça se saurait, si intégrable impliquait intégrable l'exercice perdrait son sens, on aurait pu utiliser ce résultat puis conclure en deux lignes

[Ben314]

Sauf erreur (en ce moment au niveau cervelle, ça va pas super fort...)
Si on pose , on a

Et comme les 3 termes de droite sont positifs, ça te vend que (donc est bornée)
mézossi que et comme est une fonction croissante, cela prouve qu'elle a une limite en , c'est à dire que
Idem pour

Sinon, j'ai regardé, ça marche en utilisant l'indic. que j'ai donné plus haut, mais... il y a peut-être plus simple...

[Ben314]

Je te tape la méthode que j'ai trouvé (mais je pense qu'il y a plus simple...)

Soit . Comme tel que
et donc

[Ben314]

Et puis je veux dire ça se saurait, si intégrable impliquait intégrable

Pas forcément : on ne peut pas dire que ce soit un résultat super utile (et le résultat est clairement faux dans le cas de f+g à la place de f+f')

l'exercice perdrait son sens, on aurait pu utiliser ce résultat puis conclure en deux lignes

non, vu que le fait que f² soit intégrable sur [0,+oo] n'implique même pas qu'elle est bornée (même en la supposant C1, voire plus)

[Charmander]

Ah oui, je vois... Je suis d'accord avec ta démonstration de l'intégrabilité de et . Du coup qui est une somme d'intégrales convergentes converge. Et une fois qu'on a ça on peut conclure puisque intégrable ET converge implique converge vers 0 (sinon, à partir d'un certain rang f est minorée par une constante qui n'est pas intégrable en +infini). Merci pour ton aide !

[Ben314]

Je comprend pas trop ça :

Du coup qui est une somme d'intégrales convergentes converge.

Tu montre comment que admet une limite en +oo ?

[Charmander]

Je pense que ce n'était pas la peine de revenir aux epsilones, le but de l'exercice est probablement de nous faire manipuler le lien entre convergence et intégrabilité. En tout cas, merci beaucoup pour ton aide !

[Ben314]

Je comprend pas trop ça :

Du coup qui est une somme d'intégrales convergentes converge.

Tu montre comment que admet une limite en +oo ?

Edit, non, ça va, j'ai compris.

[Charmander]

On a donc f^2 est une somme d'intégrales convergentes en +infini, non ?