Démontrer qu'une v.a.a.c. X est de carré intégrable

[billylekid]

Bonjour,

Nous avons un devoir de mathématiques à réaliser en groupe, cependant ce devoir est très difficile et nous n'arrivons pas à répondre à la seconde question. C'est pourquoi je viens vous demander de l'aide !

La première question était d'établir que notre fonction f était la ddl d'une vaac X. La fonction f étant la suivante : avec

Nous avons répondu de la manière suivante :

Pour , donc .
Pour , donc .
Donc pour donc f est localement constante et donc dérivable.
Pour donc f(x) est continue. Calculons f'(x) :




étant strictement positif, le dénominateur de f'(x) est strictement positif et donc f'(x) est continue sur .
f(x) est donc de classe puisque celle-ci est dérivable et que sa dérivée est continue sur . La fonction f est donc la d.d.p d'une v.a.a.c. X.

Désormais pour la seconde question nous devons montrer que la vaac X est de carré intégrable (ssi , pour cela nous avons commencé à résoudre l'intégrale suivante en pensant qu'il fallait démontrer que X admet un moment d'ordre 2. Cependant la résolution de cette intégrale nous paraît assez complexe et nous bloque pour la suite...
Nous en sommes à la première étape de calcul :
Nous aimerions savoir si notre démarche est la bonne et si possible avoir de l'aide sur la résolution de cette intégrale.

Merci beaucoup pour votre aide et ce que vous faîtes !

[GaBuZoMeu]

On ne vous demande pas de calculer cette intégrale, mais juste de montrer qu'elle converge.

Une petit erreur : l'intégrale est à prendre de à (la densité est nulle pour .
Le problème de convergence se pose bien sûr en .
Indication : chercher un équivalent simple en de la fonction qu'on intègre.

[billylekid]

On ne vous demande pas de calculer cette intégrale, mais juste de montrer qu'elle converge.

Une petit erreur : l'intégrale est à prendre de à (la densité est nulle pour .
Le problème de convergence se pose bien sûr en .
Indication : chercher un équivalent simple en de la fonction qu'on intègre.

Super merci beaucoup pour votre aide, cela devrait nous aider

[GaBuZoMeu]

J'espère bien. Fais un retour pour voir si l'indication te suffit.