Fonction bornée

[yos]

Bonjour, voilà ma question :
f est une fonction continue positive sur . On suppose qu'il existe deux constantes a et b telles que
.
Montrer que f est bornée.

J'ai essayé un peu sans succès, ça peut intéresser certains membres.

[Anonyme]

Salut,


F(x) = \int_1^x f(t)/t dt

L'énoncé se ré-écrit : (F(t) * e^(-a/x))' <= b * e^(-a/x)/x^2 (Kolozale Astuze)
et là je suis sûr que tu sais conclure ;)

[yos]

Bien vu.
C'est exp(a/x) et pas exp(-a/x) semble-t-il.
Après ça, on intègre de 0 à x, on obtient une majoration de F(x) puis de f(x) en revenant à l'hypothèse de l'énoncé. Ou bien il y a plus court??

En tout cas merci et bravo pour la rapidité.

[abcd22]

Ça me fait penser au lemme de Gronwall mais en l'appliquant on majore f par une fonction non bornée. En tout cas la technique de démonstration est la même que pour Gronwall.

[Anonyme]

>> Ou bien il y a plus court??

Je ne sais pas, j'ai fait comme toi pour conclure.