Intégrale bornée, fonction identiquement nulle

par **Nightmare** » 17 Mai 2009, 15:42

Salut à tous :happy3:

On m'a fait découvrir aujourd'hui un résultat surprenant que je n'arrive pas à démontrer.

On connait tous le résultat :

Si f est continue sur [1,2] (on pourrait prendre n'importe quel segment )et telle que pour tout n naturel alors (trivial en approchant par exemple f par des polynômes)

Il semblerait que le résultat suivant soit vrai :

Si f continue sur [1,2] et si la suite est bornée alors

Une idée de démonstration?

Merci à vous :happy3:

par **Maks** » 17 Mai 2009, 15:48

Waow ... Marrant ce truc ... De là à avoir une idée de démonstration dans l'instant ...

par **Nightmare** » 17 Mai 2009, 16:27

Une idée :

On considère la fonction entière

On a

Il s'agirait donc de montrer que la dérivée n-ème en 0 est toujours nulle.

Avec un développement en série entière de exp on montre que F est bornée sur

.

Mon idée serait de montrer qu'elle l'est en fait sur

ce qui permettrait de conclure par le théorème de Liouville qu'elle est constante !

par **Maks** » 17 Mai 2009, 16:35

Cela dépasse mes connaissances ... Que stipule le théorème de Liouville, s'il-te-plaît ?

par **Nightmare** » 17 Mai 2009, 16:45

Il stipule que toute fonction entière (ie holomorphe sur

) et bornée est constante.

par **Maks** » 17 Mai 2009, 16:49

Merci. Cependant, je ne sais pas ce qu'est une fonction holomorphe. J'en ai déjà entendu parler, mais jamais rencontré, ni en cours, ni en exercice. Je regarderai ça quand j'aurai le temps.

par **Nightmare** » 17 Mai 2009, 16:51

holomorphe = dérivable au sens complexe

par **Maks** » 17 Mai 2009, 16:56

= je n'ai pas vu ... malheuresement ... C'est vrai que dériver dans les complexes ... comment définir cela ? Dans les réels, on assimile la dérivation au taux de variation, lorsque l'on se déplace un petit peu sur la droite réelle ... Mais dans les complexes ... On se déplace dans le plan complexe ?

par **Nightmare** » 17 Mai 2009, 17:01

Ben pareil, avec un taux d'accroissement et une limite, sauf que dans le cas réel on a que deux manières d'approcher un point, dans le cas complexe une infinité.

par **Maks** » 17 Mai 2009, 17:03

Oui, justement, comment paramètre-t-on la direction d'approche ? Et puis s'approche-t-on toujours via une droite ? C'est une sorte de dérivation par rapport à un vecteur ?

par **leon1789** » 17 Mai 2009, 18:22

Nightmare a écrit:Une idée de démonstration?

Une idée : si f est continue sur un intervalle [a,b] avec

, et

, alors

équivaut à

quand n tend vers l'infini (ce qui est loin d'être borné :id:)

par **MathMoiCa** » 17 Mai 2009, 18:47

Salut,

En définissant le produit scalaire suivant :

, on peut prouver que ta relation est vraie pour toute fonction polynômiale. Car

appartient à la base de P[X], l'ensemble des polynômes.
Et après on utilise la densité de l'ensemble des polynômes dans l'ensemble des fonctions continues sur un compact (pas sûre pour le compact), en utilisant le th. de Weierstrass par exemple.

Sinon, au lieu de passer par le produit scalaire, on peut carrément écrire

et ça se montre...

M.

par **Nightmare** » 17 Mai 2009, 20:30

leon1789 a écrit:Une idée : si f est continue sur un intervalle [a,b] avec , et , alors équivaut à quand n tend vers l'infini (ce qui est loin d'être borné :id:)

Ok, l'équivalent n'est pas difficile à montrer. Belle méthode !

par **Nightmare** » 17 Mai 2009, 20:31

MathMoiCa a écrit:Salut,

En définissant le produit scalaire suivant :
, on peut prouver que ta relation est vraie pour toute fonction polynômiale. Car appartient à la base de P[X], l'ensemble des polynômes.
Et après on utilise la densité de l'ensemble des polynômes dans l'ensemble des fonctions continues sur un compact (pas sûre pour le compact), en utilisant le th. de Weierstrass par exemple.

Sinon, au lieu de passer par le produit scalaire, on peut carrément écrire
et ça se montre...

M.

Comment montres-tu que c'est vrai pour les polynômes?

par **MathMoiCa** » 18 Mai 2009, 07:27

Tu te places dans l'espace des polynômes de degré n P[X] (j'sais pas comment on appelle ça exactement). La base canonique est
On considère f polynôme de degré n.
D'après l'énoncé, f est orthogonal à tout élément de la base. Donc est orthogonal à lui-même.
Or par définition du produit scalaire, ça signifie que

Et après on applique Weierstrass.

M.

par **MathMoiCa** » 18 Mai 2009, 07:34

Sinon, comme proposé :

Donc

(celle-là, c'est qqn d'autre qui l'a trouvée)

M.

par **Nightmare** » 18 Mai 2009, 13:41

Mathmoica > Ok on s'est mal compris !

Tu pars de l'énoncé

qui n'est pas celui traité dans le topic :lol3:

Il faut partir de l'hypothèse

bornée !

par **MathMoiCa** » 18 Mai 2009, 19:23

Ah bawi forcément, j'ai mal lu :dodo:

Désolée

M.

Intégrale bornée, fonction identiquement nulle

intégrale bornée, fonction identiquement nulle

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