Fermé

[zork]

Bonsoir,

Soit I=]a,b[ et X un sous espace vectoriel fermé de L²(I). Supposons aussi que X inclus dans

1) montrer que pour toute f dans on a
Pour montrer cela j'ai dit que mais là j'ai un gros doute que ce soit bien cela la définition de la norme même si je résoud la question grâce à cela

2) Montrer que X est un sous espace vectoriel fermé de .

J'ai essayé cela:
Soit (fn) une suite de convergent vers f. Je dois donc montrer que f est dans
Mais comment faire cela?

merci

[mrif]

Bonsoir,

Soit I=]a,b[ et X un sous espace vectoriel fermé de L²(I). Supposons aussi que X inclus dans

1) montrer que pour toute f dans on a
Pour montrer cela j'ai dit que mais là j'ai un gros doute que ce soit bien cela la définition de la norme même si je résoud la question grâce à cela

2) Montrer que X est un sous espace vectoriel fermé de .

J'ai essayé cela:
Soit (fn) une suite de convergent vers f. Je dois donc montrer que f est dans
Mais comment faire cela?

merci

Pour la question 1) la définition que tu as citée est juste.
Pour la 2) on utilise le fait que la mesure de X est finie, donc, si p <= q alors Lq est inclus dans Lp (ici q = +l'infini).

Edit:

Pour la 1) Voir ma réponse plus loin.
Pour la 2) Voir réponse de Joker62 beaucoup plus simple.

[Joker62]

Pour la 2), on préfère utiliser un argument plus "topologique"

La question 1) assure que l'injection canonique i : L;)(I) dans L2(I) est continue.

Si X est fermé dans L2, que dire de i^(-1)(X) ?

[zork]

en faite pour la 1) j'ai toujours un doute car il n'y a pas longtemps j'ai vu dans le brézis ceci:
du coup comment montrer que ces deux définitions sont équivalentes

Pour la 2)
comme i est continue alors la réciproque d'un fermé est fermé
sinon c'est quoi l'injection canonique?

[Joker62]

Tu as un beau sac à main.
Dans ce sac à main, tu as un petit sac plastique.
Dans ce sac plastique, tu as un téléphone.

Tu peux voir le téléphone comme un élément du sac plastique.
Mais tu peux aussi le voir comme un élément du sac à main.

Tu as appliqué l'injection canonique du sac plastique dans le sac à main

Ici :

tel que

f est l'élément vu dans tandis que i(f) est l'élément f vu dans

Donc comme X est fermé de L^2, il l'est également dans L^;) vu que l'injection est continue.

[mrif]

[quote="zork"]en faite pour la 1) j'ai toujours un doute car il n'y a pas longtemps j'ai vu dans le brézis ceci:
.
Integrer sur I revient à integrer sur A union B donc cela revient à une somme d'integralles dont l'une est nulle et l'autre majorable.

[zork]

je me permet de revenir sur ce sujet car je viens de m'apercevoir d'un truc:

si j'utilise la méthode de mrif (avec laquelle je suis d'accord) on obtient:


B est de mesure négligeable mais ici I est un intervalle donc je dois avoir la mesure de Lebesgue;


Mais comment obtenir b-a? vu que A inclus dans I=[a,b]?

[Joker62]

[zork]

j'avais fais ca au début mais
n'est pas pareil que

[Joker62]

On a toujours |f(x)| <= ||f||_;)

[mrif]

je me permet de revenir sur ce sujet car je viens de m'apercevoir d'un truc:

si j'utilise la méthode de mrif (avec laquelle je suis d'accord) on obtient:


B est de mesure négligeable mais ici I est un intervalle donc je dois avoir la mesure de Lebesgue;


Mais comment obtenir b-a? vu que A inclus dans I=[a,b]?

B est négligeable et non pas de mesure négligeable, sa mesure est nulle.
Je détaille:

La mesure de Lebesgue de B est nulle donc
Cela veut dire: intégrer sur I ou sur A revient au même, autrement dit la longueur du segment I est égale, au sens de Lebesgue, à la longueur de A qui n'est autre que b-a:

[zork]

merci c'est ok

[alavacommejetepousse]

J'ai bcp aimé le sac à main et le téléphone
à replacer le plus souvent possible en transposant qd on s'adresse aux garçons qui n'ont pas tous un sac à main