Fermé et adhérence

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

Je faisais un petit exercice sur la topologie, mais je commence à avoir de sérieux doutes sur les raisonnements que j'ai fait.


---

On considère l'ensemble

On me demande de déterminer si A est fermé, et de déterminer l’adhérence de A.

Comme ce n'est pas précisé sur quel espace vectoriel normé on travaille, j'ai supposé qu'on était dans l'ensemble des réels R muni de la norme valeur absolue |.|

---


Après avoir passé du temps dessus, j'ai trouvé que A est fermé, mais du coup ça voudrait dire que l’adhérence de A est A lui-même ?

Là, je me suis dit que j'ai dû faire des erreurs dans mon raisonnement, parce que ma détermination de l'adhérence de A me parait trop rapide (et facile).

Ma démo de " A est fermé" est en grande ligne :

-Je me donne une suite d’élément de A qui converge vers un réel nécessairement positif.
J'écris que pour tout entier k : où sont deux suites d'entiers naturels

Puis j'ai distinguer 2 grands cas :

--1er cas : Si est majorée, et donc bornée

J'utilise le théorème de Bolzano Weirestrass : j'ai donc une extractrice tel que converge vers un réel : ce réel est alors un entier naturel (suite d'entier naturel convergente, donc stationnaire)

--- j'ai regardé le cas où , dans ce cas,

--- sinon, on peut écrire que

donc converge et a pour limite : et est un entier naturel (limite d'une suite d'entier naturel, la suite est donc stationnaire)

ce qui donne


--2ème cas : Si n'est pas majoré, alors il existe une suite extraite de qui tends vers : je note l'extractrice en question.

Alors à partir d'un certain rang est strictement positif, et on a l'encadrement à partir d'un certain rang :

et alors selon le théorème des gendarmes :


Dans tous les cas, la limite a est dans A, et là j'ai conclu que A est fermé.
Mais j'ai l'impression que quelque chose cloche dans mon raisonnement...est-ce que par exemple je peux bien écrire la suite comme je l'ai fait ?


Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[BiancoAngelo]

--- j'ai regardé le cas où , dans ce cas,

--- sinon, on peut écrire que

Bonsoir !

Déjà, il y a ça qui m'interpelle. En première ligne, tu prends une condition sur les limites et après tu dis sinon on peut écrire... :

Sauf que, pourquoi le fait que obligerait ...

Ce n'est pas compliqué d'extraire deux suites avec une même extractrice et qu'en plus, le produit ne fasse jamais un ?

Je pense que c'est là que ça cloche, ce qui signifierait que tu manipules une suite qui parfois n'existe pas...

Reste donc à trouver un contre exemple... Je cherche :ptdr:

[BiancoAngelo]

Finalement, moi qui ne fait plus de topo depuis longtemps, je dirais que :

Si tu prends une suite convergente, où va-t-elle converger ? Dans A, forcément, car convergent, c'est une notion où on doit préciser où ça converge. Ca n'a donc pas de sens.

Il faut donc prendre des suites de Cauchy dans A et voir où ça nous amène non ?

Par exemple, si on prend les suites convergentes de Q, évidemment qu'elles restent dans Q, car on bosse dans Q !
Pour construire R, on prend les suites de Cauchy de Q.

Donc, prendre dès le départ "Soit (a)n une suite convergente..." est foireux.

Car convergente dans quoi ?

[jonses]

...

Ceci est toujours vrai, je me suis permis de ne pas le démontrer (je suis allé un peu vite par moment,dsl) :

Pour entier naturel :

Donc, prendre dès le départ "Soit (a)n une suite convergente..." est foireux.

Car convergente dans quoi ?

j'ai écrit dans quelle espace normé on travaille :

"Comme ce n'est pas précisé sur quel espace vectoriel normé on travaille, j'ai supposé qu'on était dans l'ensemble des réels R muni de la norme valeur absolue |.| "

"Je me donne une suite d’élément de A qui converge vers un réel "

Il faut donc prendre des suites de Cauchy dans A et voir où ça nous amène non ?

Par exemple, si on prend les suites convergentes de Q, évidemment qu'elles restent dans Q, car on bosse dans Q !
Pour construire R, on prend les suites de Cauchy de Q.

Malheureusement, les suites de Cauchy ne sont plus au programme de prépa.... du coup je saisi pas tout de ce que tu as écrit

Merci en tout cas :++:

[BiancoAngelo]

Effectivement, en relisant, j'ai vu que tu prenais un réel.
Mais on n'exploite pas ce fait du tout dans la démonstration...
J'essaie, mais il est tard et suis très très rouillé... :hum:

[BiancoAngelo]

Bon, à voir ce qu'il se passe sur cet ensemble, ça semble difficile de converger en dehors de A, en effet.
Donc ta démonstration semble correcte (ce n'est que mon avis), vu que tu m'as précisé la remarque que je t'ai faite.

Du coup, s'il est fermé et qu'on demande l'adhérence, c'est peut-être pas "A" qu'ils attendent comme réponse, mais plutôt la caractérisation... genre que c'est Q inter "qqch"...

Qu'en penses-tu ?

Je vais dormir, je n'ai pas l'impression de t'avoir beaucoup aidé...

Bon courage.

PS : il peut être intéressant de comprendre que, vu qu'on reste dans A, pourquoi une suite de A ne peut pas converger vers certaines fractions...a priori. C'est bien ça, parler de l'adhérence, je pense... Dire où on va !

[jonses]

Du coup, s'il est fermé et qu'on demande l'adhérence, c'est peut-être pas "A" qu'ils attendent comme réponse, mais plutôt la caractérisation... genre que c'est Q inter "qqch"...

Qu'en penses-tu ?

Oui, je pense bien que c'est ce qui est demandé finalement, sinon ça serait vraiment bête de répondre juste un truc du genre " c'est A"

Je vais dormir, je n'ai pas l'impression de t'avoir beaucoup aidé...

Bah, tu m'as permis de mettre en évidence que je manquais cruellement de rigueur/clarté, pour moi c'est important (il faut que je règle ce problème) !

Merci ! :++:

[BiancoAngelo]

Oui, je pense bien que c'est ce qui est demandé finalement, sinon ça serait vraiment bête de répondre juste un truc du genre " c'est A"



Bah, tu m'as permis de mettre en évidence que je manquais cruellement de rigueur/clarté, pour moi c'est important (il faut que je règle ce problème) !

Merci ! :++:

Re.
Bon, dans tout ça, je ne pense pas que tu manques cruellement de rigueur, ou de clarté, tu as quand même rédigé ça bien.
Pour repréciser ce que j'ai dit sur les suites de Cauchy, truc que je n'ai pas fait depuis trop longtemps :

Si on prend l'application de QxQ* : (n,m) -> n/m.

Soit A l'ensemble des images de cette application.

On prend une suite d'éléments de A, convergente dans... Q? R? C? Evidemment, on est obligé de choisir au moins R, sinon on ne démontrera rien...

Ce qui fait bizarre, c'est qu'ensuite, dans la démonstration, on n'utilise pas vraiment le fait qu'on a parlé de R ou de C... Mais c'est vital.

Ici, on voit que A est dense dans R.

Le truc, c'est que si on cherche à construire R, alors on parle des suites de Cauchy sur Q... parce que justement, on ne peut pas dire convergente dans... R qui n'existe pas (encore !). Tu me suis ?

Donc j'avais parlé de ça, en étant (trop) fatigué, mais ce n'est pas du tout ce qu'il faut, je pense. Ce que tu as fait me semble bien.

Pour me convaincre au final que notre ensemble A (celui de ton exo) n'était pas dense dans R ou au moins dense sur un segment continu de R, j'ai fait un tracé. J'ai en l'occurrence tracé une verticale d'abscisse x, avec x = un élément de A.
Et j'ai parcouru n et m de 1 à 1200.

On voit (c'est forcément très visuel), que la "densité se situe au niveau des rationnels de type 1/k".
Sur le dessin, l'accumulation vers 1, 1/2, 1/3,1/4... se remarque, en effet.

Sauf qu'en fait, on s'en fout, vu que c'est fermé...
C'était "histoire de".

Voilà, en espérant t'avoir, cette fois, apporté un peu plus ! :lol3: :ptdr:

[zygomatique]

salut



il est donc évident que toute fraction 1/n est adhérente à A .... et c'est ces nombres qui nous intéressent avec 0

or 0 est réglé en prenant m = 0

et 1/N est réglé en prenant m = 1 et n = N - 1


donc A est fermé ....

[jonses]

salut



il est donc évident que toute fraction 1/n est adhérente à A .... et c'est ces nombres qui nous intéressent avec 0

or 0 est réglé en prenant m = 0

et 1/N est réglé en prenant m = 1 et n = N - 1


donc A est fermé ....

Désolé, mais j'ai pas suivi ton raisonnement

et c'est ces nombres qui nous intéressent avec 0

Pourquoi ça montre que A est fermé ?

[zygomatique]

0 et 1/n sont les seuls (à priori) limites de points de A donc des points adhérents ... (ce sont les seuls points d'accumulation)

A est fermé ssi ses points adhérents lui appartiennent

or ces points adhérents (ou d'accumulation) appartiennent à A

donc A est fermé ....


les autres éléments de A sont isolés ....

[BiancoAngelo]

0 et 1/n sont les seuls (à priori) limites de points de A donc des points adhérents ... (ce sont les seuls points d'accumulation)

C'est pour ça que j'ai fait un petit dessin, pour qu'on voie a priori ce qu'il se passe.
Et ça "confirme" assez bien ce que t'as démontré, formellement si je puis dire, mais qui n'avait rien de très visuel.

Moi je fais un dessin, zygomatique commente, et voilà, tu peux ainsi être rassuré ! :ptdr: