Famille libre

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ludo60
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Famille libre

par ludo60 » 12 Jan 2019, 17:31

Bonjour, on considère une famille de vecteurs libres dans un e.v E.
On rajoute un vecteur à cette famille, noté de sorte que la famille soit liée.

Le but est alors de montrer que .

J'ai réussi à montrer qu'au moins un des vecteurs s'exprime comme CL des autres mais ne comprends pas pourquoi ce vecteur est nécessairement .

Merci pour votre aide.



Mimosa
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Re: Famille libre

par Mimosa » 12 Jan 2019, 17:54

Bonjour

Il existe des scalaires non tous nuls, tels que.

Si , la famille initiale étant libre, on a , donc et , ce qui entraine , donc .

Si , on multiplie par et on a combinaison linéaire des autres.

ludo60
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Re: Famille libre

par ludo60 » 12 Jan 2019, 18:33

Merci pour ta réponse. Je n'ai pas bien compris une partie:

Tu dis que si , alors tous les sont nuls. Ça, je vois bien.

Ne peut-on pas simplement dire alors que puisque les vecteurs sont liés, il existe nécessairement puis conclure sur ta dernière phrase ?

Mimosa
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Re: Famille libre

par Mimosa » 14 Jan 2019, 17:05

C'est tout le problème que tu posais. Il y en a bien un non nul, mais pourquoi ?

ludo60
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Re: Famille libre

par ludo60 » 15 Jan 2019, 17:18

Car s'il est nul, ils le sont tous ?

Mimosa
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Re: Famille libre

par Mimosa » 15 Jan 2019, 17:46

Oui, c'est ça.

ludo60
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Re: Famille libre

par ludo60 » 15 Jan 2019, 17:49

ok, merci pour ton aide, j'y vois plus clair :-)

Mimosa
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Re: Famille libre

par Mimosa » 15 Jan 2019, 18:14

:)

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mathelot
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Re: Famille libre

par mathelot » 15 Jan 2019, 18:19

pour résumer:

il existe une combinaison linéaire non triviale des pour
ne peut pas être nul
donc est combinaison linéaire des pour

ainsi, on voit qu'une partie libre maximale (au sens de l'inclusion) est une famille génératrice.

 

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