Famille libre

[chelsea-asm]

Bonjour,

Comment puis-je prouver que



équivaut à

J'ai essayé de faire un système en factorisant par (je détaille pas mais la factorisation est bonne).
Ou encore par

Sans réussite...

Merci d'avance pour vos conseils !

[Nightmare]

Hello,

essaye de prendre quelques valeurs particulières de x.

Par exemple, x=0 =>

[chelsea-asm]

Hum oui mais le but est de montrer que (cos pix, sin pix, xcos pix, xsin pix) est une base de F, un sous-ev de E qui est l'ensemble des fonctions réelles définies et continues sur R.

Je sais que c'est une famille génératrice (énoncé..) mais si je prends une valeur particulière comment l'élargir à R ensuite ?

Merci

[Nightmare]

Je ne comprends pas tes questions.

Tu as comme hypothèse que :

pour tout x, acos(pi x)+ bsin(pi x)+cx.cos(pi x)+dx.sin(pi x)....= 0

Et tu veux en déduire que a, b, c et d sont nuls.

Ce que je te dis, c'est que si ton égalité est vraie pour tout x, tu peux alors voir ce qu'elle donne pour des valeurs particulières de x.

[chelsea-asm]

Ok, mais pour x=0, j'ai

Il me reste encore à trouver que les 3 autres réels sont nuls.
Mais une fois que c'est fait pour les valeurs particulières, quelle méthode devrais-je utiliser pour dire que c'est pour tout x réel ?

Merci encore

[Nightmare]

Mais qu'est-ce qui est censé être "pour tout x réel"?

On veut démontrer que a=b=c=d=0, je ne vois pas en quoi ce résultat devrait être "pour tout x réel" !

[chelsea-asm]

Je crois que je comprends mieux oui, il suffit de le montrer une fois, pour une valeur particulière alors que tel ou tel a,b,c,d est égal à 0.

[Nightmare]

Oui,

exemple sur un énoncé similaire simplifié : Montrer que si ax²=0 pour tout x, alors a=0.
Preuve : En prenant x=1, on obtient a=0. CQFD. On a pas besoin de regarder ce qu'il se passe en tous les x puisque la seule valeur 1 affecté à la variable permet d'en déduire que a=0.

Autre exemple : Montrer que si pour tout x > 0, ax²+bln(x)=0 alors a=b=0.
Preuve : Si x=1, on obtient a=0. Si x=2, on obtient 4a+bln(2)=0, mais a=0 donc bln(2)=0 donc b=0. CQFD. Là encore, on part d'une égalité vraie pour tout x > 0, mais il suffit d'examiner ce qu'elle donne pour deux valeurs particulières pour en déduire la nullité des coefficients.

[chelsea-asm]

Ok ok j'avais du mal à comprendre ça ^^ pour moi (c'est bête) le fait que c'était vrai pour une variable, dans ce cas, n'impliquait pas que c'était vrai pour tout x.

Avec x=1 j'ai aussi trouvé que (grâce à x=0).

Je cherche pour les deux autres mais ça recoince.
J'essaye avec x=1/4 de façon à avoir du pi/4 et donc cos = sin

Mais j'arrive seulement à a+b+1/4 c+1/4 d=0
d'où c+d=0

Si je mets x=1/2 je supprime a et c puisque cos(pi/2)=0 donc pareil, j'aurais du c+d=0

Pour x=1/3 je trouve

D'autres idées ? :S

[chelsea-asm]

Hum, attendez, désolé, je me suis planté en écrivant le précédent message !! Mille excuses ! :mur:

[Nightmare]

Ok ok j'avais du mal à comprendre ça ^^ pour moi (c'est bête) le fait que c'était vrai pour une variable, dans ce cas, n'impliquait pas que c'était vrai pour tout x.

Ce que tu penses est vrai, mais ce que tu ne sembles pas concevoir, c'est que le résultat qu'on te demande de montrer ne dépend pas de x. A partir de là, ça ne sert à rien de vouloir le démontrer pour tout x ou pour un seul x particulier, il n'y a pas de x dans le résultat, seulement dans les hypothèses.

c+d=0

Pour x=1/3 je trouve

Eh bien, c'est terminé non? Tu as montré qu'on doit avoir en même temps c+d=0 et . C'est possible seulement pour quelles valeurs de c et d?

[chelsea-asm]

En réalité je me suis trompé de variables en mélangeant les lambda et les lettres, mais après calculs, je trouve un résultat semblable,

Avec x=0 et x=1 on trouvait a=0 et c=0
Ensuite je trouve
b = -1/2 d (avec x=1/2)

et b = -1/4 d (avec x=1/4)

Donc b = d = 0.

Juste j'ai l'impression non? :)

[Nightmare]

oui, ca me va!

[chelsea-asm]

Parfait merci beaucoup :D Bonne soirée ;)

[alm]

Salut,

C'et un peu trop tard mais j'ajoute quand même que partant de la combinaison nulle pour tout réel on a est une fonction à la fois paire et impaire donc nulle (simplifie un peu les calculs car il suffira d'appliquer à par exemple )