Factorisation

[zork]

Bonjour

dans C[X,Y,Z] factoriser le polynôme en produits de facteurs irréductibles

je trouve comme racine 0 et 1. Mais comment factoriser? je sais faire quand il y a une variable mais avec 3 c'est pas pareil



merci

[LeJeu]

Bonjour

dans C[X,Y,Z] factoriser le polynôme en produits de facteurs irréductibles

merci

il n'y a pas de racine à chercher par contre tu dois pouvoir mettre ( x+y+z) en facteur

[zork]

dans ce cas que signifie factoriser en produits irréductibles?

[Doraki]

Dans ton cas ça veut dire en produit de polynômes de degré 1.

[zork]

ok d'accord merci à vous 2. Je vais essayer ca

[Carpate]

il n'y a pas de racine à chercher par contre tu dois pouvoir mettre ( x+y+z) en facteur

En remarquant que , on conjecture que est factorisable par





Peut-on aller plus loin dans la factorisation ?
J'avoue ne plus être compétent. Peut-être en essayant de réduire la forme quadratique ?
XCAS ne factorise pas davantage ...

[Carpate]

En remarquant que , on conjecture que est factorisable par





Peut-on aller plus loin dans la factorisation ?
J'avoue ne plus être compétent. Peut-être en essayant de réduire la forme quadratique ?
XCAS ne factorise pas davantage ...

Rectif.
1) Il n'y avait rien à conjecturer : pour ,
donc est divisible par x

2) est irréductible sur , bien qu'il soit de degré 2.
Supposons q(x,y,z) factorisable.

étant homogène en , ne comporte pas de terme constant :
Les termes de plus haut degré obtenus lors du produit doivent s'identifier à , , :

Or
donc non factorisable

[Doraki]

si j est une racine cubique primitive de 1,
P est invariant quand on remplace y par jy et z par j²z, donc puisque (x+y+z) en est un facteur, (x+jz+j²z) et (x+j²y+jz) le sont aussi.

Et finalement, P = (x+y+z)(x+jy+j²z)(x+j²y+jz).

[LeJeu]

si j est une racine cubique primitive de 1,
P est invariant quand on remplace y par jy et z par j²z, donc puisque (x+y+z) en est un facteur, (x+jz+j²z) et (x+j²y+jz) le sont aussi.

Et finalement, P = (x+y+z)(x+jy+j²z)(x+j²y+jz).

Très joli !

[Carpate]

si j est une racine cubique primitive de 1,
P est invariant quand on remplace y par jy et z par j²z, donc puisque (x+y+z) en est un facteur, (x+jz+j²z) et (x+j²y+jz) le sont aussi.
Et finalement, P = (x+y+z)(x+jy+j²z)(x+j²y+jz).

Bravo Doraki !
Il fallait y penser.
Peut-être as-tu pensé à la forme générale des racines de l'équation du troisième degré: je mets en 3) la factorisation par résolution de l'équation du troisième degré d'inconnue :

1) "P est invariant quand on remplace y par jy et z par j²z, donc puisque (x+y+z) en est un facteur, (x+jz+j²z) et (x+j²y+jz) le sont aussi"
Voici une forme plus algébrique ou plutôt plus calculatoire de cette assertion :
: est divisible par
: est divisible par
: est divisible par


2) A partir de , on peut factoriser en résolvant l'équation du second degré en :





3) On peut voir comme une équation du 3ème degré en : que l'on peut (s'amuser à ?) résoudre par la méthode de Cardan
Equation de la forme avec et
Les calculs sont moins lourds avec la forme réduite :, ,
Pour :



, ,






d'où