Factorisation polynôme

[Matt34200]

Bonjour, j'ai un polynôme à factoriser sur R et C
P(X) = sigma pour k variant de 0 à n de X^k
j'ai utilisé la formule de la somme des termes d'une suite géométrique j'ai alors P(X)= (1-X^(n+1)/(1-X)
les racines de P vérifient alors X^(n+1) = 1 et X différent de 1
les racines sont alors X_k = e^(2*i*k*pi/n+1) pour k variant de 1 à n
c'est la que je bloque dans la forme factorisé sur C de mon polynôme je peux noter le resulat comme ça ? P(x) = (X-e^(2ipi/n+1))..(X-e^(2inpi/n+1)) et après pour le factoriser sous forme réelle j'ai du mal à trouver les racines conjugués pour utiliser la formule qui me permettra de factoriser dans R
merci d'avance

[Sa Majesté]

Tu peux séparer suivant la parité de n.
Si n est impair alors n=2m+1. Tu as donc :
- k de 1 à m
- k=m+1 correspond à la solution triviale -1
- k=m+2 à 2m+1 sont les conjugués de k=1 à m suivant m+1+p est le conjugué de m+1-p

[mathelot]

pour n pair,


pour n impair,


sauf erreur..

[Matt34200]

Bonsoir, merci de vos réponses, mais il y a une chose que j'ai du mal à saisir pourquoi "- k=m+2 à 2m+1 sont les conjugués de k=1 à m suivant m+1+p est le conjugué de m+1-p" suivant votre raisonnement si j'ai n pair n = 2m
k de 1 à m
pour k = m+1 j'ai aussi la solution triviale - 1 et de m+2 à 2m, j'aurais alors les conjuguées de k= 1 à m non ?
le raisonnement concernant ce tiret reste tout de même flou pour moi par rapport à la notion de conjuguée ..

[mathelot]

les sont des complexes de module 1.

si |z|=1 alors est le conjugué de

[Matt34200]

ok j'ai compris cela, mais dernier point en fait ce que je peine à comprendre c'est comment il a pu trouver cette relation entre les nombres conjugués, et je teste la relation dans le cas impair ça ne me donne pas 2 nombres conjuguées pour k = 1 j'ai X-e^(ipi) et pour k = m+2 j'ai X-e^(ipi/m+1) qui ne sont pas deux conjugués..

[Sa Majesté]