Polynome - Factorisation, multiplicité

[maxrase]

Bonjour à tous !

J'aurais besoin de votre aide car je bloque sur une question.

Voici l'énoncé :

Q= (X²+X+1)² polynome dans C

Je dois factoriser Q, je trouve sans problème les racines : j et jbarre

donc ma factorisation est Q=(X-j)(X-jbarre)


La question suivante est de montrer que j est multiple de Pn avec

Pn= (X+1)^6n+1 - X^6n+1 - 1

et en déduire que Q divise P.

Auriez-vous une idée quand à la démarche à suivre ?

Car faire la division euclidienne de Pn par j et montrer que le reste est nul me semble infaisable voire farfelue...


Merci pour votre aide et votre super forum

Maxime

[maxrase]

Merci beaucoup je n'avais pas pensé à cette solution, pourtant assez facile...

Mon cerveau fatigue ^^

[kazeriahm]

salut

Q=(X-j)^2(X-/j)^2 (il manquait les carrés)

sinon pour P_n, il suffit de vérifier que j est racine, comme P_n est à coefficient réels, si z est racine alors /z l'est aussi :)

[maxrase]

Effectivement je dois montrer que j est racine, je dois utiliser e^(i*2*pi/3).

Comment procéder car j'ai du mal...

(e^(i*2*pi/3) + 1)^(6n+1) - (e^(i*2*pi/3))^(6n+1) - 1


je n'arrive pas à développer :

(e^(i*2*pi/3) + 1)^(6n+1)


Merci de votre aide ;)

[maxrase]

Toujours pas d'idée ? :cry: