Extrema

par **MacManus** » 17 Oct 2010, 15:35

Bonjour !

J'ai un peu perdu la main pour ce genre d'exo :

Soit

définie par :

Discuter selon les valeurs du paramètre a

, les extrema éventuels de cette fonction f.

J'ai calculé la Jacobienne et la Hessienne, ce qui donne :

et

On remarque que pour a=0, le point (x,y)=(0,0) annule le gradient, c'est donc un point critique.
D'autre part, pour (x,y)=(0,0) et pour a=0, les valeurs propres de la hessienne sont positives (strictement), donc existence d'un minimum local strict.

Mais dans le cas général, comment procéder rigoureusement?

merci à vous!

par **Ben314** » 17 Oct 2010, 15:58

Salut,
Comme souvent, la résolution est assez chiante (autant la théorie est simple, autant en général la résolution du système d'équation "Jacobienne=0" dans un cas concret est problèmatique).

Tu doit donc résoudre

qui est un système... non linéaire.
Quand on ne vois pas "d'astuce", on peut essayer par substitution : ici, ça conduirait à déduire de la première équation que

et à remplacer dans la deuxième ce qui donne une unique équation en y (mais un peu grosse...)

Par contre, "avec astuce", il peut venir à l'esprit de faire la différence entre les deux équations vu qu'elle se ressemblent beaucoup...

par **girdav** » 17 Oct 2010, 15:58

Bonjour,
qu'as-tu trouvé comme points critiques?

par **MacManus** » 17 Oct 2010, 20:09

Ben314 a écrit:Par contre, "avec astuce", il peut venir à l'esprit de faire la différence entre les deux équations vu qu'elle se ressemblent beaucoup...

C'est ce que j'ai fait en fait. j'aboutis à l'équation : (y-x)(xy-1+a)=0
Le gradient s'annule donc lorsque y=x ou a = 1-xy mais je tourne en rond non ?

par **Ben314** » 17 Oct 2010, 21:30

MacManus a écrit:C'est ce que j'ai fait en fait. j'aboutis à l'équation : (y-x)(xy-1+a)=0
Le gradient s'annule donc lorsque y=x ou a = 1-xy mais je tourne en rond non ?

Est qu'as tu fait de l'autre équation ?
Arrivé à ce point, tu fait deux cas :
1) Si x=y la première (ou la deuxième) équation dit que ...
2) Si xy=1-a, la première (ou la deuxième) équation dit que ...

Sauf erreur, si a=1, il y en a deux autre qui sont (racine(a-1),-racine(a-1)) et (-racine(a-1),racine(a-1))

par **MacManus** » 17 Oct 2010, 22:01

si x=y, l'une des deux équations me donne :

, ie : x=0 puisque a

(de même en remplaçant x par y)
si xy=1-a, comment procèdes-tu?

merci pour tes réponses en tout cas.

par **MacManus** » 17 Oct 2010, 22:09

si xy=1-a, je remplace par ex. dans la 1ère équation et je trouve : (1-a)y + x + ay = 0. ie : x+y=0
est-ce correct ?

par **Ben314** » 17 Oct 2010, 22:26

Oui, c'est bien ça.
Tes deux équations sont maintenant xy=1-a et x+y=0 : c'est quasi fini...

par **mathelot** » 17 Oct 2010, 22:29

Avec la somme et la différence des 2 égalités

le "et" distribue sur le "ou", d'après les lois de Boole

par **MacManus** » 17 Oct 2010, 23:50

Merci infiniement ! J'ai compris.

Extrema

extrema

Qui est en ligne