trocho a écrit:Bonjour.
Je dois déterminer les extrema d'une fonction toute bête:
f(x,y)=x²+y²
mais sur l'ensemble S={(x,y);)R² | g(x,y)=x^4 + y^4 -1 = 0}
Pour répondre, j'ai d'abord dit que g(x,y)=0 équivaut à
x^4=1-y^4
et donc x²=(1-y^4)^(1/2)
Je remplace dans f, et là, je dis que trouver les points critiques de f équivaut à trouver les y pour lesquels la dérivée de la fonction
h(y)=(1-y^4)^(1/2)+y²
s'annule.
Alors, je vous fais grâce de mes calculs, et je trouve 3 solutions possibles pour y: -(2^(-1/4)); 0; 2^(-1/4)
A partir de là, on trouve 2 possibilités pour x, une positive, et une négative. Donc 6 points.
Le problème, c'est que je ne suis pas sûr d'utiliser une méthode convenable (même pas sûr du tout), et surtout qu'ensuite, je ne sais pas vraiment comment montrer si ce sont des extrema ou non.
P.S. Désolé pour les puissances, mais je ne sais pas trop encore comment insérer les belles formules avec de racines quatrièmes...
Je rappelle sur cet exemple la méthode des multiplicateurs de Lagrange
Si f présente un extremum sur S en (x,y) alors, en ce point, df (différentielle de f) est proportionnelle à dh : df = tdh ( une seule contrainte donc un seul multiplicateur t ; pour k contraintes on écrirait que df est une combinaison linaire des différentielles des contraintes et on aurait k coefficients multiplicateurs).
df = 2xdx + 2ydy ; dh = 4x^^3 dx + 4y^3 dy
La proportionnalité de df et dh se traduit par : xy^3 yx^3 = 0
Et il ne faut pas oublier que (x,y) est dans S doù le système :
xy^3 yx^3 = 0 et x^4 + y^4 -1 = 0
pour chaque solution (x,y) de ce système on calcule f(x,y)
Il nest pas toujours évident de préciser la nature des points obtenus( minimum, maximum, absolu, relatif ?). On se débrouille
Bien souvent le théorème suivant est bien utile : S est un fermé borné (compact) et f est continue sur S donc f admet une valeur maximum M et une valeur minimum m. Le (ou les) point (x,y) de S où M est atteint par f est une solution du système ci-dessus (même remarque pour le minimum). Je pense quil est alors très facile de conclure.
Une dernière remarque: pour (x,y) dans S on a : (x²+y²)² = 2x²y² +1. On peut tirer de cette remarque une solution élémentaire. Par exemple : si (x,y) est dans S alors x²+y² >= 1 .etc..
Bon courage