2 facons pour des extrema - Fonction à plusieurs variables

[bb_fabien]

Bonjour,

Je vous contacte car là je suis dans l'incapacité de finir mon exercice...

Je dois calculer, de deux manières différentes, les extrema locaux de la fonction f(x, y)=x²y³(3x+2y+1)

Pour la première méthode, j'ai réussi en utilisant le gradient. J'ai trouvé les valeurs qui annulent le gradient. Il y a en l'occurence tous les nombres ayant x=0 ou y=0.

Mais pour la deuxieme méthode, je n'ai pas trouvé sur internet, ou pas compris certaines...

Certaines méthodes demandaient de calculer f(a+h, b+k) - f(a,b) mais je tombais rapidement sur des expressions très compliquées...

Si vous pouviez m'aiguiller vers une méthode :)

Merci d'avance

[libertad]

Bonjour,

La seule autre méthode que je connais (et qui semblre ressembler à celle que tu décris) est :

La fonction f admet un maximum local au point (a, b) si l'inégalité suivante est verifiée dans un voisinage de (a, b) :
f(a + h, b + k) <= f(a, b) , pour tout h et k suffisamment petits en va-
leur absolue.

De même, la fonction f admet un minimum local au point (a, b) si f(a + h, b + k) >= f(a, b).

Mais, je ne suis pas sur que tu es vu ces notions.

[bb_fabien]

Merci, après discussion avec des amis qui avaient le même type de sujet, c'est bien la méthode qu'il faut utiliser.

Je te remercie en tous cas :)

edit: le calcul de f(a+h, b+k) fait 10lignes... Est-ce normal? Dois-je continuer? Y a-t'il une méthode particulière pour étudier le signe de f(a+h, b+k)-f(a, b) ?

[busard_des_roseaux]

salut,

j'essaye de retrouver les thms, ça fait si longtemps :hum:

1er point:

la condition d'extremum local
dans un voisinage de (a,b)
font que les applications partielles f(.,b) et f(a,.)
admettent aussi un extrêmum local, leurs dérivées s'annulent, et donc que le gradient est nul en (a,b).

ça donne comme condition nécéssaire d'extremum:
x=0 ou y=0 ou le système


Les termes du deuxième ordre de f(a+h,b+k)-f(a,b)
s'écrivent comme

où A est la matrice dite hessienne, des dérivées secondes de f,
l'idée est de voir, puisque la différentielle df(a,b) est l'application linéaire nulle,
si la somme des termes du second ordre (en , et ) change de signe (pas d'extremum)
ou garde un signe constant (extremum local)


donc , avec la théorie générale et le cours , on s'en sort avec la matrice hessienne.

Içi , c'est plus simple:

en a=0 f(0,b)=0.
Il suffit de regarder si f change de signe au voisinage de (0,b)
ou non pour conclure
f(x,y)=x^2y^3(3x+2y+1)

par exemple, en un point (a,b) tel que on voit tout de suite qu'on a un extremum
car x^2y^3(3x+2y+1) garde un signe constant dans un voisinage de (a,b)
et donc 0 est un extremum local.

par exemple, en un point (a,b) tel que on voit tout de suite que 0 n'est pas extremum local
car x^2(3x+1) garde un signe constant
dans un voisinage de (a,0) et change de signe
au voisinage de b=0, etc..
donc on peut ramener l'existence d'un extremum local à un tableau de signes.


donc en a=0 ou b=0, on regarde à "la main",
et en on peut passer par la matrice hessienne.