Extrema liés

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peachesndcream
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Extrema liés

par peachesndcream » 16 Fév 2019, 13:45

Bonjour,
Je viens de trouver un exercice sur internet sur les Extrema liés (sous contraintes) , j'ai trouvé la fonction suivante :
f(x,y) = xy(1-x-y) et K= { (x,y) E R² tlq x,y>= 0 et x+y <= 1 }
on doit montrer que f admet un maximum sur K.
selon ce que j'ai compris la contrainte sera g(x,y) = x+y-1 mais je ne suis pas sur de ma réponse.
Pouvez vous m'aidez s'il vous plait?



Mimosa
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Re: Extrema liés

par Mimosa » 16 Fév 2019, 14:41

Bonjour

Comme est compact, on sait d'avance que y est bornée et atteint ses bornes.

Si tu veux trouver ces bornes ici il suffit de manipuler quelques inégalités. En général on cherche les extremums à l'intérieur de en utilisant les techniques d'extremum lié, puis on regarde ce qui se passe sur la frontière.

peachesndcream
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Re: Extrema liés

par peachesndcream » 16 Fév 2019, 15:22

Mimosa a écrit:Bonjour

Comme est compact, on sait d'avance que y est bornée et atteint ses bornes.

Si tu veux trouver ces bornes ici il suffit de manipuler quelques inégalités. En général on cherche les extremums à l'intérieur de en utilisant les techniques d'extremum lié, puis on regarde ce qui se passe sur la frontière.


Emm, j'ai pas bien compris. Pouvez vous m'expliquer plus?

Pour utiliser les méthodes de Lagrange et la méthode directe c'est sur la frontière ?
Merci pour votre réponse.

Mimosa
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Re: Extrema liés

par Mimosa » 16 Fév 2019, 15:34

Je disais que étant compact, il suffit d'appliquer le théorème général pour affirmer que est bornée et atteint ses bornes. Ceci finit l'exo tel que tu l'as posé.


Par ailleurs, dans ce cas particulier si , on a et, donc pour , on a , ce qui dit bien que est bornée sur . Sur la frontière la fonction est nulle. Donc le maximum est atteint à l'intérieur de . Là, tu cherches le maximum d'une fonction de deux variables, mais ce n'est pas lié.

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chan79
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Re: Extrema liés

par chan79 » 16 Fév 2019, 15:42

Salut
On peut penser aux dérivées partielles pour obtenir le seul point critique à l'intérieur du triangle.

aviateur

Re: Extrema liés

par aviateur » 16 Fév 2019, 19:12

Bonjour
Pour l'existence du maximum vous en avez déjà parlé.
On peut faire la question avec des moyens élémentaires en posant p=xy et s=x+y.
Modifié en dernier par aviateur le 19 Fév 2019, 14:10, modifié 1 fois.

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chan79
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Re: Extrema liés

par chan79 » 17 Fév 2019, 13:34

Le maximum n'est pas sur les bords
.J'avais écrit que les deux dérivées partielles étaient nulles
on arrive au système
2x+y=1
x+2y=1

et x=y=1/3

 

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