Extremas Liés

[Lostounet]

Salut,

Soit f(x; y ; z) = xyz
Soumise aux contraintes suivantes:



Je dois déterminer son minimum, et son maximum.

Ce que j'ai fait:

J'ai constaté que:

Alors:
xy + yz + zx = 0

J'ai ensuite essayé d'exprimer y en fonction des autres. Pour x différent de -z:

y= -xz/(x + z)

Ensuite j'ai fait le produit xyz, en étudiant la fonction g(x; z) de deux variables dont les extrema sont libres (il me semble). En annulant les dérivées partielles, j'ai trouvé
que
Lorsque x = z pas de pb, mais lorsque x = -z c'est problématique car mon y ... ne marche pas.

Quelqu'un pourrait-il m'aider à régler cela? En passant éventuellement par le th. des extrema liés... (Je dois trouver 5 solutions différentes par la méthode des interpolateurs mais bon..)

Merci

[Robot]

Tu es sur un cercle (intersection de la sphère unité et du plan x+y+z=1). Tu peux paramétrer le cercle, et tu es alors ramené à un problème d'extrema pour une fonction d'une variable.
Tu peux aussi exprimer par l'annulation d'un déterminant que le gradient de la fonction est combinaison linéaire des gradients des équations.
PS : la deuxième méthode est sans doute la plus simple.
2e PS :
"Je dois trouver 5 solutions différentes par la méthode des interpolateurs mais bon.." ????

[arnaud32]

tu as trois inconnues, deux équations, il est probable que ta fonction f puisse etre reduite a une fonction de x seul par exemple

sinon
https://fr.wikipedia.org/wiki/Multiplicateur_de_Lagrange

[Robot]

tu as trois inconnues, deux équations, il est probable que ta fonction f puisse etre reduite a une fonction de x seul par exemple

Le cercle ne peut sûrement pas être paramétré par x, ou alors il faut le couper en deux ... et ça risque fort de donner des trucs atroces. Il y a un moyen plus simple de paramétrer le cercle, mais ça ne me semble pas la meilleure méthode ici.

[Matt_01]

Pour moi, tu peux écrire : (X-x)(X-y)(X-z)=X^3-X^2-xyz
Mais X^3-X^2=xyz admet 3 solutions distinctes réelles lorsque : xyz est dans ]0,-4/27[
2 solutions distinctes réelles lorsque xyz=0 ou -4/27, et une seule solution réelle dans le reste.
Mais x=y=z est impossible, donc nécessairement xyz est dans [0,-4/27].
Pour atteindre le maximum/minimum de xyz on doit donc prendre (par exemple) x=y et donc :
z=1-2x, z^2=1-2x^2, ce qui donne x=0 ou x=2/3 et finalement les minimum/maximum se trouvent en :

(0,0,1) et (2/3, 2/3, -1/3), et on retrouve bien 0 et -4/27.

Ca peut sembler pas clair donc je vais préciser : Pour que xyz=a soit possible avec les conditions données, on doit avoir le polynôme (X-X)(X-y)(X-z)=X^3-X^2-a qui doit admettre uniquement des racines réelles.
Et donc par exemple, si X^3-X^2-a n'admet qu'une racine réelle, c'est que nécessairement x=y=z.
Si X^3-X^2-a n'admet que deux racines réelles, c'est que nécessairement x=y ou x=z ou y=z.

[Lostounet]

Re,
Merci Matt, je vais regarder du côté de la résolvante de Cardan.
Robot, je vais relire la partie du cours sur les gradients et je reviens :ptdr:

[chan79]

Salut
Ca ne doit pas être la méthode standard:
y+z=1-x
y²+z²=1-x²

(1-x)²=(y+z)²=y²+z²+2yz=1-x²+2yz

1+x²-2x=1-x²+2yz

x²-x=yz

xyz=x³-x²

Max=0 pour (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1)

Min=-4/27 pour (2/3,2/3,-1/3), (2/3, -1/3,2/3) et (-1/3,2/3,2/3)

[aymanemaysae]

Même si le sujet me dépasse un peu,et que je viens juste d'aborder l'étude des multiplicateurs de Lagrange, j'aimerai partager avec vous - surtout avec M. LostouNet - une page que j'ai trouvé sur Internet:

[Robot]

C'est ce à quoi je faisais allusion dans mon premier message, mais il n'y a pas besoin de faire intervenir explicitement les multiplicateurs de Lagrange. Un petit déterminant 3x3 bien sympathique fait l'affaire.

[Lostounet]

C'est ce à quoi je faisais allusion dans mon premier message, mais il n'y a pas besoin de faire intervenir explicitement les multiplicateurs de Lagrange. Un petit déterminant 3x3 bien sympathique fait l'affaire.

Bonjour,

Merci pour vos réponses. Je vais donc faire un bilan des différentes méthodes que vous proposez:

@Chan: J'aime bien comment tu trouves toujours un moyen simple avec les identités remarquables ! Je peux donc me ramener "facilement" en terrain connu d'une variable !

@Matt: Hum.. terrain inconnu cette fois.
Je vais essayer de reformuler pour voir si j'ai compris.
On considère (X - x)(X - y)(X - z), qui doit avoir des racines réelles.
Avec les contraintes (dont celles que j'ai mentionnée dans mon 1er post), on développe:
(X - x)(X - y)(X - z) = X^3 - X^2(x + y + z) + X(xy + xz + yz) - xyz
= X^3 - X^2 - xyz

On calcule le discriminant: D = xyz(4 - 27xyz) (je vois pas comment tu as du -4/27..?, je me suis peut-e trompé)

Ce discriminant peut être soit strictement positif (cela signifie que x, y et z sont différents), soit nul.

Ensuite, vu que on peut pas avoir x = y = z (=0?) (sinon x = 1/3, et x^2 = 1/9 et les contraintes sont pas ok), .. on a x=y ou y = z ou x = z..

Pour le coup je ne comprends pas l'histoire de l'intervalle qui se referme... tu inclues à nouveau les valeurs qui annulent le discriminant... ?


@Robot, Aymane: Merci bien pour ce 'push' pour que j'apprenne la nouvelle partie du cours sur les extrema liés.
Une question: On affirme l'existence de lambda 1 et lambda 2 parce qu'on a des extrema liés?
J'ai l'impression que la résolution du système 6 est pénible (je regarderai demain en détail).
Pour le det 3x3 de Robot... Je vais y réfléchir.

Merci :we:

[Matt_01]

Je ne calcule aucun discriminant. Sachant que X^3-X^2-xyz doit avoir seulement des solutions réelles (x,y et z), je regarde la fonction X^3-X^2 et détermine le nombre de solutions de X^3-X^2=a en fonction de a (qui représente xyz).

[Robot]

Je ne calcule aucun discriminant.

Ben si, tu calcules de fait un discriminant : le discriminant de est :lol3:
Mais il est vrai qu'il n'y a pas besoin de savoir ce qu'est un discriminant pour étudier le nombre de racines réelles du polynôme en fonction de : la variation de suffit.

[Sylviel]

Apprendre la méthode des multiplicateurs de lagrange est à mon avis un bon investissement :
c'est la base de l'optimisation sous contraintes...

[Matt_01]

Ben si, tu calcules de fait un discriminant : le discriminant de est :lol3:
Mais il est vrai qu'il n'y a pas besoin de savoir ce qu'est un discriminant pour étudier le nombre de racines réelles du polynôme en fonction de : la variation de suffit.

Sachant que je ne connais pas la formule du discriminant, je vais avoir du mal à dire que j'ai "calculé" un discriminant. Par contre je suis d'accord pour dire que l'étude du discriminant fournit les mêmes conclusions que mon étude à savoir :
Pour qu'il y ait seulement des solutions réelles, il faut que le discriminant soit positif, ce qui implique a dans [-4/27,0]. Et donc le max est 0 et le min -4/27 (car à chaque valeur de a dans [-4/27,0] on peut associer un triplet réel solution de X^3-X^2-a=0 et qui donc vérifie xyz=a).


Maintenant je suis d'accord avec Sylviel pour dire que, s'il y a une méthode à retenir, c'est celle du Lagrangien qui a le mérité de se généraliser par rapport aux contraintes. Mais c'est toujours marrant d'utiliser une méthode qui n'est pas celle attendue.

[chan79]

Lorsque M(x,y,z) fait le tour de son cercle en partant de A(1,0,0) en parcourant d'abord le petit arc AB avec B(0,0,1), x varie de 1 à -1/3 puis il augmente pour se retrouver à 1.
Pour étudier les variations de V, il vaut donc mieux paramétrer le cercle et exprimer V en fonction de ce paramètre.
Si on pose G(1/3,1/3,1/3), M est déterminé par l'angle



En utilisant le produit vectoriel par exemple, on arrive à:







On a la fonction:

Cette fonction de est facile à étudier



Pour par exemple , on a

Ici, on peut s'en sortir comme ça, mais je suis d'accord avec Sylviel, avec les multiplicateurs de Lagrange, c'est mieux.

[Lostounet]

Salut Chan, merci beaucoup !

Je vais regarder en détail ce que tu proposes. J'ai cependant une question élémentaire concernant x dans x^3 - x^2... x est dans [0;1], mais pourquoi?

Car en annulant f', on a bien x = 0, x = 2/3 mais le x = 1 est sur le bord. Pourquoi pas x = -1?

[Robot]

Je signale que la paramétrisation du cercle est ce que j'avais mentionné dans le deuxième message de ce fil. :lol3:
J'attends de voir le déterminant 3x3 qui exprime le fait que le gradient de la fonction étudiée est orthogonal à la tangente au cercle donné par les deux équations de contrainte.

[Lostounet]

Il n'a pas été dit le contraire Robot. Tu as donné toutes les méthodes possibles, mais malheureusement c'était trop allusif.
Ce qui évident pour toi l'est moins pour moi. Quoique, ça a l'avantage de me laisser chercher...

pendant longtemps parfois :ptdr:

[Robot]

Tu es sur un cercle (intersection de la sphère unité et du plan x+y+z=1). Tu peux paramétrer le cercle, et tu es alors ramené à un problème d'extrema pour une fonction d'une variable.

Tu trouves vraiment ça trop allusif ? D'accord, je n'ai pas donné explicitement de paramétrisation du cercle en question. Je pensais que tu aurais pu le faire ... Bon, chan79 l'a fait pour toi.

[chan79]

Salut Chan, merci beaucoup !

Je vais regarder en détail ce que tu proposes. J'ai cependant une question élémentaire concernant x dans x^3 - x^2... x est dans [0;1], mais pourquoi?

Car en annulant f', on a bien x = 0, x = 2/3 mais le x = 1 est sur le bord. Pourquoi pas x = -1?

Tu as ci-dessous les variations de x (en bleu), y (en vert) et z (en noir) quand (décrit plus haut) varie entre 0 et
x ne prend jamais la valeur -1