Extrema fonction

[solr]

Bonjour,

J'aimerais vos avis sur un exo en rapport aux dérivées partielles.
Soit une fonction de E, sous-ensemble de Rn, dans R, je cherche ses extremums.
L'ensemble est compact et la fonction continue, donc ils existent.
Cependant, le sous-ensemble E ne se caractérise pas par une equation, mais pas une inéquation.
Donc impossible d'utiliser le théorème des fonctions implicite ou la méthode des multiplicateurs de Lagrange.
Comment procédé ?

Exemple : n=2, E=disque fermé de rayon 1 (donc inéquation : X^2+Y^2<=1)
et f(x,y)=(x+y)/(1+x^2+y^2)

Merci

[adrien69]

Salut,

Ton extrema existe, mais peut-il être atteint à l'intérieur du disque ?

[solr]

Salut,

Ton extrema existe, mais peut-il être atteint à l'intérieur du disque ?

Je cherche les extremums de la fonction, à l'intèrieur du disque. Ces extremums existe car le disque est un ensemble compacte et la fonction est continue.
(Je ne cherche pas les extremums globaux de la fonction, qui ne sont évidemment pas dans le disque)
Il faut voir le disque comme une contrainte sur la fonction.

[adrien69]

Quand je dis "intérieur" c'est à entendre au sens topologique. Donc dans le disque ouvert.

[zygomatique]

salut

cherche les points critiques de f ... y en a-t-il dans le disque unité ?

ou

passe en polaire

d'autre part en remarquant que f(x, y) = f(y, x) si extremum alors il se trouve sur la droite d'équation y = x

de même on voit que f(-x, -y) = -f(x, y) donc si max alors min ....

....

[chan79]

d'autre part en remarquant que f(x, y) = f(y, x) si extremum alors il se trouve sur la droite d'équation y = x

salut
tu en es sûr ?
vois avec f(x,y)=sin(6x)+sin(6y)

[solr]

@Adrien : Au temps pour moi, l'extrema est sur la frontière et pas à l'intèrieur, d'où ta question. Mais comme je l'ai dit mon ensemble est constitué des 2 donc peut importe .. C'est mon exemple qui est nul (trop particulier). Enfaite je cherche un méthode générale pour pouvoir gérer les inéquations comme contraintes..

@Zigomatique : Les deux règles que tu me donnes me paraissent étranges ... Peut tu développer please ? (surtout la deuxième, qui me parait fausse même dans l'exemple)

[zygomatique]

voir ::



comment on insère une image sur ce forum ?

[adrien69]

Pour moi si tu veux une méthode générale (et si j'ai bien compris ton problème) il faut regarder du côté du théorème des extremas liés.

[adrien69]

Dans tous les cas tu devras étudier le problème sur l'intérieur dans ce genre de cas. Et ensuite travailler sur la frontière, qui localement s'exprime comme h(x)=0, via les fonctions implicites. Et dès lors tu peux utiliser les extremas liés (et les multiplicateurs de Lagrange). Du moins si j'ai bien compris ta question.

[zygomatique]

ouais bof ....



et




g est croissante donc à angle constant l'extremum a lieu sur le bord du disque

pour un rayon donné le sinus est extrémal en 0 + kpi/2 donc h est extrémale en pi/4 + kpi/2 soit sur les bissectrices ....

[zygomatique]

de plus avec les dérivées partielles les coordonnées des points critiques vérifient



par soustraction il vient que x = y ou x = - y

x = - y ne donne pas de solution

x = y donne la solution

....

[chan79]

de plus avec les dérivées partielles les coordonnées des points critiques vérifient



par soustraction il vient que x = y ou x = - y

x = - y ne donne pas de solution

x = y donne la solution

....

Par exemple pour on a f(x,y)=sin(6x)+sin(6y)=2 qui est visiblement la valeur maximale

[zygomatique]

oui je suis d'accord pour ton exemple .... mais ta solution vaut tout autant que de prendre x = y = -pi/4 .... et je ne dis pas qu'il n'y en a pas ailleurs .... du fait des propriétés de la fonctions sinus .... en particulier sa périodicité ....

en particulier une fois vu que f(x, y) est maximal en (-pi/4,-pi/4) alors pour tout t = -pi/4 + mpi/3 et u = -pi/4 +npi/3 avec (m, n) parcourant ZxZ f(t, u) est maximal ....



ma démo concernait l'énoncé initial ...

[chan79]

ma démo concernait l'énoncé initial ...

OK je voulais simplement dire que si f(x,y)=f(y,x) un extremum s'il existe n'est pas forcément obtenu pour y=x
exemple f(x,y)=sin(|x-y|) définie sur le disque de centre (0,0) et de rayon 5

[Ben314]

Salut,

Exemple : n=2, E=disque fermé de rayon 1 (donc inéquation : X^2+Y^2<=1)
et f(x,y)=(x+y)/(1+x^2+y^2)

Vu la tête de ton domaine et de ta fonction, je m'embêterais pas avec avec des truc théoriques : en polaire, ta fonction est "à variables séparées" : et ton domaine aussi : , quelconque.

Conclusion : ce n'est pas vraiment un problème "en dimension 2" vu qu'il suffit de chercher le max de deux fonctions de R dans R.

[zygomatique]

on a tout de même un minimum local sur la droite x = y puisque au voisinage de x = y f(x, y) >= f(x, x)

... mais il n'est pas global effectivement ....

[deltab]

Bonjour

Salut,

Ton extrema existe, mais peut-il être atteint à l'intérieur du disque ?

Dans le cas général,, la réponse est OUI, exemple ,

[adrien69]

Bonjour



Dans le cas général,, la réponse est OUI, exemple ,

Regarde son exemple avant de penser que j'ai posé une question aussi débile que "et si jamais j'ai une variable x, elle peut prendre la valeur 1 ?"

[deltab]

Bonsoir

Regarde son exemple avant de penser que j'ai posé une question aussi débile que "et si jamais j'ai une variable x, elle peut prendre la valeur 1 ?"

J'ai fait cette remarque pour éviter que Soir fasse une généralisation.