Extension quadratique de Q

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barbu23
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Extension quadratique de Q

par barbu23 » 20 Nov 2009, 22:02

Bonsoir à tous : :happy3:
Soit un entier relatif sans facteur carré ( que signifie : sans facteur carré ? :hein: ).
Pourquoi est une extension de degré de ?
Merci de votre aide ! :happy3:



barbu23
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par barbu23 » 20 Nov 2009, 22:05

J'ai pensé définir une application de la forme suivante : telle que : Mais après, je ne sais pas quoi faire ! Je ne sais pas si c'est correct ce que j'écris ! :happy3:

barbu23
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par barbu23 » 20 Nov 2009, 22:27

Help plz ! :happy3:

barbu23
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par barbu23 » 20 Nov 2009, 22:29

Ben314, tu peux me donner un coup de main à cet exo ? Merci ! :happy3:

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par Ben314 » 20 Nov 2009, 22:45

Sans facteur carré signifie qu'il n'est divisible par aucun carré entier distinct de 1 (i.e. que dans sa décomposition en nombre premier, tout les nombres premiers sont distincts)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

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Ben314
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par Ben314 » 20 Nov 2009, 22:55

Le "degrés" d'une extention est la dimension de l'extention vue comme espace vectoriel sur le corps de départ.

Soit tu as vu que K[X]/P où P est un polynôme IRREDUCTIBLE sur K est une extention de K de degrés le degrés du polynôme P et dans ce cas il suffit d'expliquer pourquoi X^2-d est irréductible sur Q (c'est là qu'intervient le "sans facteur carré")

Soit tu ne l'as pas vu et il faut "à la main" montrer que les classes de 1 et de X dans le quotient forment une base du quotient...
Je suis en train de réfléchir que, temps que l'on n'as pas vu le résultat ci dessus, il n'est pas clair que K[X]/P soit un corps (ce n'en est un que si P est irréductible)

Fait attention à ton "idée" car rien dans l'énoncé ne précise que d est positif. s'il est négatif, ta fonction n'est pas la bonne (en plus je ne suis pas sure qu'elle serve à quelque chose pour calculer le degrés de l'extention)
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barbu23
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par barbu23 » 20 Nov 2009, 23:58

Et pourquoi : est irréductible ? :hein: :happy3:

barbu23
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par barbu23 » 21 Nov 2009, 00:04

:hein: ( n'est pas irréductible ? ) :hein:

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Ben314
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par Ben314 » 21 Nov 2009, 01:33

Tu as parfaitement raison, le fait que

montre que n'est irréductible dans aucun corps contenant une racine de .

Par exemple
1) sur le polynome n'est jamais irréductible (quelque soit la valeur de )
2) sur le polynome n'est jamais irréductible si par contre il est irréductible si
3) sur , si le polynôme n'est pas irréductible...
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