Extension quadratique de Q

par **barbu23** » 20 Nov 2009, 21:02

Bonsoir à tous : :happy3:
Soit

un entier relatif sans facteur carré ( que signifie : sans facteur carré ? :hein: ).
Pourquoi

est une extension de degré

de

?
Merci de votre aide ! :happy3:

par **barbu23** » 20 Nov 2009, 21:05

J'ai pensé définir une application de la forme suivante :

telle que :

Mais après, je ne sais pas quoi faire ! Je ne sais pas si c'est correct ce que j'écris ! :happy3:

par **barbu23** » 20 Nov 2009, 21:27

Help plz ! :happy3:

par **barbu23** » 20 Nov 2009, 21:29

Ben314, tu peux me donner un coup de main à cet exo ? Merci ! :happy3:

par **Ben314** » 20 Nov 2009, 21:45

Sans facteur carré signifie qu'il n'est divisible par aucun carré entier distinct de 1 (i.e. que dans sa décomposition en nombre premier, tout les nombres premiers sont distincts)

par **Ben314** » 20 Nov 2009, 21:55

Le "degrés" d'une extention est la dimension de l'extention vue comme espace vectoriel sur le corps de départ.

Soit tu as vu que K[X]/P où P est un polynôme IRREDUCTIBLE sur K est une extention de K de degrés le degrés du polynôme P et dans ce cas il suffit d'expliquer pourquoi X^2-d est irréductible sur Q (c'est là qu'intervient le "sans facteur carré")

Soit tu ne l'as pas vu et il faut "à la main" montrer que les classes de 1 et de X dans le quotient forment une base du quotient...
Je suis en train de réfléchir que, temps que l'on n'as pas vu le résultat ci dessus, il n'est pas clair que K[X]/P soit un corps (ce n'en est un que si P est irréductible)

Fait attention à ton "idée" car rien dans l'énoncé ne précise que d est positif. s'il est négatif, ta fonction n'est pas la bonne (en plus je ne suis pas sure qu'elle serve à quelque chose pour calculer le degrés de l'extention)

par **barbu23** » 20 Nov 2009, 22:58

Et pourquoi :

est irréductible ? :hein: :happy3:

par **barbu23** » 20 Nov 2009, 23:04

:hein: ( n'est pas irréductible ? ) :hein:

par **Ben314** » 21 Nov 2009, 00:33

Tu as parfaitement raison, le fait que

montre que

n'est irréductible dans aucun corps contenant une racine de

.

Par exemple
1) sur

le polynome n'est jamais irréductible (quelque soit la valeur de

)
2) sur

le polynome n'est jamais irréductible si

par contre il est irréductible si

3) sur

, si

le polynôme n'est pas irréductible...

Extension quadratique de Q

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