Extension de corps

[chombier]

Bonjour,
Je planche désormais sur cette fiche : https://d396qusza40orc.cloudfront.net/i ... os/Ex2.pdf

J'essaie de faire l'exercice 2, j'ai avancé un peu mais je marche sur des oeufs, je joue un peu à l'apprenti sorcier, j'aimerais donc bien être relu et puis... je suis vite coincé :

D'abord, on remarque que , donc .
est une base de dans

Considéront alors . C'est un sous-espace vectoriel de L(V) isomorphe à

Je ne sais même pas si ce que je dis a vraiment du sens

[zygomatique]

salut

est un corps contenant donc V est naturellement muni d'une structure d'espace vectoriel sur ce corps :

pour tout vecteur u et v de V et tout scalaire x et y de K xu + yv appartient à V

peut-être faut-il être plus précis sur la multiplication externe ... et vérifier qu'on a toujours f(xu + yv) = xf(u) + yf(v) ...

[zygomatique]

pour tout x et y dans Q et u et v dans V alors xu + yv est dans V

or pour des rationnels p, q, r, p', q' et r'

[Archytas]

est un corps contenant donc V est naturellement muni d'une structure d'espace vectoriel sur ce corps

C'est un peu ambitieux, non ? est un corps contenant pourtant on aura du mal à munir ou même d'une structure de -espace vectoriel.
Selon moi le plus naturel serait de redéfinir directement le produit externe:

Puis vérifier qu'avec cette définition on a bien un -espace vectoriel.
Je me trompe peut être je n'ai pas vérifié tous les axiomes mais intuitivement ça m'a l'air bien huilé.
Pour la dimension, on pourrait s'inspirer de la fameuse formule

[zygomatique]

tu as surement raison et je me demandais d'ailleurs comment utiliser f ...

[Archytas]

Tu as dû t’emmêler les pinceaux, ce qui est vrai c'est si K est une extension de k et V est un K-espace vectoriel alors V peut être muni d'une structure de k-espace vectoriel, mais le contraire ne marche pas toujours (ici heureusement ça marche ^^)