Extension d'un corps K

par **barbu23** » 15 Mai 2010, 19:27

Bonjour : :happy3:
Je fais une petite revision en ce moment, et malheureusement, j'ai oublié une grande partie sur la théorie des corps, et c'est le temps de remedier la situation.
J'ai une petite question à vous poser : :happy3:
Soit

un corps.
Pouvez vous m'expliquer de manière detaillée, pourquoi :

le corps des fractions rationnelles à une indeterminée sur le corps

est une extension de

?
Merci infiniment ! :happy3:

par **barbu23** » 15 Mai 2010, 19:35

D'après wikipedia :
Un sous-corps d'un corps

est une partie non vide

de

, stable par

et

, telle que

munie des lois induites soit un corps.
Donc, je pense que c'est evident !
D'abord

.
Dés olé d'av oir ouvert ce topoic à la con ! :happy3:

par **barbu23** » 15 Mai 2010, 19:46

svp, j'ai une autre question à vous poser : :happy3:
Pourquo i un homomorphisme d'un corps est toujours injectif ?
Merci d'avance ! :happy3:

par **Nightmare** » 15 Mai 2010, 19:49

Salut,

Une extension = Un sur-corps, il s'agit donc juste de montrer que K(X) est un corps et qu'il contient K, les deux sont "évidents"

Sinon, "un homomorphisme d'un corps", qu'est-ce que ça veut dire? Un homomorphisme, ça a un espace de départ et un espace d'arrivé... Quoi qu'il en soit, un homomorphisme d'un corps dans un autre n'est bien sûr pas toujours injectif!

par **barbu23** » 15 Mai 2010, 19:56

Et un homomorphisme d'un corps dans un anneau ? Est ce que c'est la même chose ? Est ce que ce n'est pas toujours injectif ? :happy3:
Merci infiniment ! :happy3:

par **Arkhnor** » 15 Mai 2010, 19:58

Salut !

un homomorphisme d'un corps dans un autre n'est bien sûr pas toujours injectif!

Il me semble que si : si

est un morphisme (de corps) et si

est non nul, alors on a

, donc

est non nul.

par **barbu23** » 15 Mai 2010, 19:58

Je n'arrive pas à comprendre ce qui se dit ici à propos de ce sujet :

le noyau d'un morphisme de corps est un idéal, et les seuls idéaux d'un corps k sont {0} et k tout entier, et on a f(1) = 1 donc le noyau ne peut pas être k.

Pourquoi on parle de

ici et non de

car finalement :

et non :

Merci de vos eclaircissements ! :happy3:

par **Arkhnor** » 15 Mai 2010, 20:03

Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?

Le noyau d'un morphisme de corps (c'est à dire un morphisme d'anneaux) est un idéal --> facile à voir.
Les seuls idéaux d'un corps, c'est {0} et le corps tout entier --> trivial là encore.
f(1) = 1 --> c'est dans la définition d'un morphisme d'anneaux.

La fin du raisonnement est simple là aussi.

par **yos** » 15 Mai 2010, 20:03

Salut.
Tout est dit dans ce que tu cites. Qu'est-ce que tu ne comprends pas?
Sinon tu oublies les idéaux et tu suppose qu'il y a un x dans Ker f \ {0}. Tu as f(x)=0 donc 1=f(1)=f(xx^{-1})=f(x)f(x^{-1})=0.

par **Arkhnor** » 15 Mai 2010, 20:04

Bah, on a montré que le noyau, c'était soit {0} soit K.
Comme f(1) = 1, ça montre qu'il existe un élément non nul qui a une image non nulle, donc qu'il existe un élément non nul de K qui n'appartient pas au noyau.
Le noyau ne peut donc pas être K, c'est donc forcément {0}

par **Arkhnor** » 15 Mai 2010, 20:05

yos> Bah c'est ce que j'ai écrit plus haut. ^^

par **barbu23** » 15 Mai 2010, 20:07

Arkhnor a écrit:Bah, on a montré que le noyau, c'était soit {0} soit K.
Comme f(1) = 1, ça montre qu'il existe un élément non nul qui a une image non nulle, donc qu'il existe un élément non nul de K qui n'appartient pas au noyau.
Le noyau ne peut donc pas être K, c'est donc forcément {0}

Voilà , c'est exactement ça ce que j'attendais ! Merci infiniment ! :happy3:
Merci egalement aux autres intervenants pour leurs reponses ! c'est très gentil ! :happy3:

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