Extension de corps

par **Fitzounet** » 11 Mai 2010, 20:16

Bonjour,

une base de la théorie des extensions de corps que j'ai du mal à saisir :
si K est un corps, et a un élément qui n'appartient pas à K,
quelle est la différence entre K(a) et K[a].
Il me semble que K[a]={P(a)/ P est dans K[X]}
mais K(a) c'est quoi ?

par **MacManus** » 11 Mai 2010, 20:22

salut

K(X) est le corps des fractions rationnelles à coefficients dans K
K(a)={P(a)/Q(a) , avec P,Q dans K[X] et Q non nul en a}

par **Fitzounet** » 11 Mai 2010, 20:29

D'accord tout de suite ça va aider, merci. et tu arriverais à m'expliquer pourquoi si un élément a est algébrique sur K, alors K(a)=K[a] ?
merci encore

par **MacManus** » 11 Mai 2010, 20:39

Que veut dire a est "algébrique" ?

par **Nightmare** » 12 Mai 2010, 00:22

Salut,

tu peux montrer que k[a] a une structure de corps et que par conséquent il est égal à k(a). Pour ça, le théorème de Bezout ...

par **Fitzounet** » 12 Mai 2010, 08:09

MacManus : a algébrique sur K signifie que a annule un polynôme de K[X]
NightMare : merci

par **Ben314** » 12 Mai 2010, 08:57

Fitzounet a écrit:MacManus : a algébrique sur K signifie que a annule un polynôme de K[X]

A mon avis, MacManus ne posait pas une question, mais te donnait une indication sur la façon de montrer que K(a)=K[a] lorsque a est algébrique sur K :
Si a est algébrique, il existe un polynôme P non nul de K[X] tel que P(a)=0 et même, si on prend le polynôme P unitaire de plus bas degrés tel que P(a)=0, il est évident que P est irréductible.
Ensuite, tu fait ce que te dit Nightmare (5 lignes...)

par **Fitzounet** » 13 Mai 2010, 09:26

Désolé je suis un peu stupide parfois..
oui j'ai essayé avec Bezout, ça roule tout seul ! merci.
Après en creusant dans des bouquins j'ai trouvé une autre démonstration mais plus technique elle appelle des connaissances sur les anneaux :
faut considérer le morphisme K[X]->L (L extension de K, a appartient à L) qui à f(X) lui associe f(a)
alors son noyau est un idéal premier ( se vérifie facilement )
il est non nul car a algébrique, donc il est maximal (car K[X] intègre )
du coup K[X] quotienté par le Ker est un corps. On applique le premier théorème d'isomorphisme, et comme l'image est K[a] on trouve que K[a] est un corps.
et là on conclut..
Je pense que ça doit être ça car dans mon bouquin il était juste marqué de considérer le morphisme, et pas plus.. après ça m'a fait réviser la théorie des anneaux c'est sûr mais en exam je préfèrerai utiliser la solution de nightmare !

en tout cas merci à tous !

par **Ben314** » 13 Mai 2010, 10:42

(Re)salut,
De plus, si tu réfléchi tout trés bien aux "deux" preuves, il devrait te venir à l'esprit qu'elles sont pas trop guère différentes...

En effet, peut tu me rappeller comment on fait la preuve que, dans K[X], si un idéal est premier alors il est maximal...

par **abcd22** » 13 Mai 2010, 12:59

Bonjour,

Fitzounet a écrit:il est non nul car a algébrique, donc il est maximal (car K[X] intègre )

Ce n'est pas plutôt car K[X] est principal ?

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