Extension de corps

[AlexisD]

Bonjour, voici un petit exercice sur les extensions de corps que j'ai résolu. Mais je trouve quelquechose qui cloche...

Soit x et y deux rationnels qui ne sont pas des carrés dans . Montrer que si et seulement si le quotient x/y est un carré dans .

Dans le sens indirect, c'est assez facile, je ne le détaille pas. Dans le sens direct:
Je pose où a et b sont dans .
Je considère deux cas:
Si b=0, pas de souci, je ne détaille pas mais on trouve ce qu'il faut.
Si j'écris que:

En mettant cette expression au carré, j'obtiens:


Comme 1 et sont dans , il vient que l'autre terme également. Donc, en particulier:
.
Ainsi le quotient:
est rationnel puisqu'on divise par . Ainsi je montre ce qu'il fallait.

En fait, cela me dérange un peu car je pensais aboutir à une contradiction dans le deuxième cas. Montrer en effet que le quotient y/x est rationnel, revient à établir que le b=0. Et ca n'apparait pas explicitement dans ma démonstration. Ya-t-il un problème et dans ce cas, où est-il ?

Merci

[Doraki]

Si tu élèves ça au carré, tu obtiens que est rationnel.
Donc est rationnel aussi.
Et comme x n'est pas un carré, on en déduit que b doit être nul.

Mais ta preuve reste correcte.